Lý thuyết về giới hạn của hàm số

Bình chọn:
4.3 trên 37 phiếu

Giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, các giới hạn đặc biệt.

Lý thuyết về giới hạn của hàm số.

Tóm tắt lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn

+) Cho khoảng \(K\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\). 

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n ∈ K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\) và \(x_n\rightarrow x_0\)ta có
\(\lim f(x_n) =L\). 

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((x_0; b)\).

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi dãy số \((xn) bất kì, \(x_0<x_n< b\) và \(x_n\rightarrow x_0\) ,ta có \(\lim f(x_n) = L\).

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; x_0)\).

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(a <x_n< x_0\) và \(x_n\rightarrow x_0\), ta có
\(\lim f(x_n) = L\).

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; +∞)\).

\(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n> a\), \(x_n\rightarrow +\infty\) thì \(lim f(x_n) = L\).

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((-∞; a)\).

\(\underset{x\rightarrow-\infty }{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n< a\), \(x_n\rightarrow -\infty\) thì \(\lim f(x_n) = L\).

2. Giới hạn vô cực

Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau:

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; +∞)\), \(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} f(x) = -∞\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n> a\), \(x_n\rightarrow +\infty\) thì ta có \(\lim f(x_n) = -∞\)

+) Cho khoảng \(K\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\). 

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = +∞\) và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n ∈K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\) và \(x_n\rightarrow x_0\) thì ta có 

\(\lim f(x_n) = +∞\).

Nhận xét: \(f(x)\) có giới hạn \(+∞ \) khi và chỉ khi \(-f(x)\) có giới hạn \(-∞\).

3. Các giới hạn đặc biệt

a) \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} x = x_0\);

b) \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}c = c\);

c) \(\underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim} c = c\);

d) \(\underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim}\) \(\frac{c}{x} = 0\) (\(c\) là hằng số);

e) \(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} x^k= +∞\), với \(k\) nguyên dương;

f) \(\underset{x\rightarrow-\infty }{lim} x^k= -∞\), nếu \(k\) là số lẻ;

g)  \(\underset{x\rightarrow-\infty }{lim}x^k = +∞\) , nếu \(k\) là số chẵn.

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1. 

a) Nếu \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} = L\) và \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) \(g(x) = M\) thì:

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) + g(x)] = L + M\);

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) - g(x) = L - M\);

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) . g(x)] = L.M\);

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) \(\frac{f(x)}{g(x)}\)= \(\frac{L}{M}\) (nếu \(M ≠ 0\)).

b) Nếu \(f(x) ≥ 0\) và \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = L\), thì \(L ≥ 0\) và \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}\sqrt {f(x)} = \sqrt L\)

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi \(x_n\rightarrow +\infty\) hoặc \(x_n\rightarrow -\infty\).

Định lí 2.

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{lim}\) f(x) = \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L\).

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích \(f(x).g(x)\)

+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) =  \pm \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = L \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\) được cho trong bảng sau:

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)

+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \ne 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0\) và \(g\left( x \right) > 0\) hoặc \(g\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in J\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\), trong đó \(J\) là một khoảng nào đó chứa \({x_0}\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) được cho trong bảng sau:

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Bài 2. Giới hạn của hàm số

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng