Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài tập ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số ..

Bài 3.49 trang 134 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.49 trang 134 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tìm m để phương trình ...

Đề bài

Tìm m để phương trình \({x^4} - \left( {3m + 5} \right){x^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đặt \({x^2} = y,\) đưa phương trình về bậc hai.

- Tìm điều kiện để phương trình sau có hai nghiệm dương.

- Từ đó suy ra bốn nghiệm phương trình đầu và tìm điều kiện để phương trình đầu có bốn nghiệm tạo thành cấp số cộng.

Lời giải chi tiết

Đặt \({x^2} = y,\) ta có phương trình \({y^2} - \left( {3m + 5} \right)y + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0{\rm{    }}\left( 1 \right)\)

Để phương trình có 4 nghiệm thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm dương phân biệt \({y_1},{y_2}{\rm{ }}\left( {{y_1} < {y_2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {3m + 5} \right)^2} - 4{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\
3m + 5 > 0\\
{\left( {m + 1} \right)^2} > 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9{m^2} + 30m + 25 - 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) > 0\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{m^2} + 22m + 21 > 0\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - \frac{7}{5};m < - 3\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - \frac{7}{5}\\
m \ne - 1
\end{array} \right.\)

Bốn nghiệm đó là \( - \sqrt {{y_2}} , - \sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_2}} .\)

Điều kiện để 4 nghiệm trên lập thành cấp số cộng là \(\sqrt {{y_2}}  - \sqrt {{y_1}}  = 2\sqrt {{y_1}} \) hay \({y_2} = 9{y_1}\,\,\left( 2 \right)\)

Theo \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} + {y_2} = 3m + 5\,\,\left( 3 \right)\\{y_1}{y_2} = {\left( {m + 1} \right)^2}\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Từ (2) và (3) ta có: \({y_1} + 9{y_1} = 3m + 5\)\( \Leftrightarrow {y_1} = \dfrac{{3m + 5}}{{10}}\)

Thay \({y_1} = \dfrac{{3m + 5}}{{10}}\) và \({y_2} = \dfrac{{9\left( {3m + 5} \right)}}{{10}}\) vào \(\left( 4 \right)\) ta được:

\(\dfrac{{3m + 5}}{{10}}.\dfrac{{9\left( {3m + 5} \right)}}{{10}} = {\left( {m + 1} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {3m + 5} \right)^2} = \dfrac{{100{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{9}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 5 = \dfrac{{10\left( {m + 1} \right)}}{3}\\3m + 5 =  - \dfrac{{10\left( {m + 1} \right)}}{3}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9m + 15 = 10m + 10\\9m + 15 =  - 10m - 10\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m =  - \dfrac{{25}}{{19}}\end{array} \right.\)\(\left( {TM} \right)\)

Vậy \(m = 5\) và \(m =  - \dfrac{{25}}{{19}}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua