Bài 3.49 trang 134 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.49 trang 134 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tìm m để phương trình ...

Đề bài

Tìm m để phương trình \({x^4} - \left( {3m + 5} \right){x^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đặt \({x^2} = y,\) đưa phương trình về bậc hai.

- Tìm điều kiện để phương trình sau có hai nghiệm dương.

- Từ đó suy ra bốn nghiệm phương trình đầu và tìm điều kiện để phương trình đầu có bốn nghiệm tạo thành cấp số cộng.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2026

Lời giải chi tiết

Đặt \({x^2} = y,\) ta có phương trình \({y^2} - \left( {3m + 5} \right)y + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0{\rm{    }}\left( 1 \right)\)

Để phương trình có 4 nghiệm thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm dương phân biệt \({y_1},{y_2}{\rm{ }}\left( {{y_1} < {y_2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {3m + 5} \right)^2} - 4{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\
3m + 5 > 0\\
{\left( {m + 1} \right)^2} > 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9{m^2} + 30m + 25 - 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) > 0\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{m^2} + 22m + 21 > 0\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - \frac{7}{5};m < - 3\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - \frac{7}{5}\\
m \ne - 1
\end{array} \right.\)

Bốn nghiệm đó là \( - \sqrt {{y_2}} , - \sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_2}} .\)

Điều kiện để 4 nghiệm trên lập thành cấp số cộng là \(\sqrt {{y_2}}  - \sqrt {{y_1}}  = 2\sqrt {{y_1}} \) hay \({y_2} = 9{y_1}\,\,\left( 2 \right)\)

Theo \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} + {y_2} = 3m + 5\,\,\left( 3 \right)\\{y_1}{y_2} = {\left( {m + 1} \right)^2}\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Từ (2) và (3) ta có: \({y_1} + 9{y_1} = 3m + 5\)\( \Leftrightarrow {y_1} = \dfrac{{3m + 5}}{{10}}\)

Thay \({y_1} = \dfrac{{3m + 5}}{{10}}\) và \({y_2} = \dfrac{{9\left( {3m + 5} \right)}}{{10}}\) vào \(\left( 4 \right)\) ta được:

\(\dfrac{{3m + 5}}{{10}}.\dfrac{{9\left( {3m + 5} \right)}}{{10}} = {\left( {m + 1} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {3m + 5} \right)^2} = \dfrac{{100{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{9}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 5 = \dfrac{{10\left( {m + 1} \right)}}{3}\\3m + 5 =  - \dfrac{{10\left( {m + 1} \right)}}{3}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9m + 15 = 10m + 10\\9m + 15 =  - 10m - 10\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m =  - \dfrac{{25}}{{19}}\end{array} \right.\)\(\left( {TM} \right)\)

Vậy \(m = 5\) và \(m =  - \dfrac{{25}}{{19}}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí