Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài tập ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số ..

Bài 3.49 trang 134 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.49 trang 134 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tìm m để phương trình ...

Đề bài

Tìm m để phương trình \({x^4} - \left( {3m + 5} \right){x^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đặt \({x^2} = y,\) đưa phương trình về bậc hai.

- Tìm điều kiện để phương trình sau có hai nghiệm dương.

- Từ đó suy ra bốn nghiệm phương trình đầu và tìm điều kiện để phương trình đầu có bốn nghiệm tạo thành cấp số cộng.

Lời giải chi tiết

Đặt \({x^2} = y,\) ta có phương trình \({y^2} - \left( {3m + 5} \right)y + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0{\rm{    }}\left( 1 \right)\)

Để phương trình có 4 nghiệm thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm dương phân biệt \({y_1},{y_2}{\rm{ }}\left( {{y_1} < {y_2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {3m + 5} \right)^2} - 4{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\
3m + 5 > 0\\
{\left( {m + 1} \right)^2} > 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9{m^2} + 30m + 25 - 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) > 0\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{m^2} + 22m + 21 > 0\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - \frac{7}{5};m < - 3\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - \frac{7}{5}\\
m \ne - 1
\end{array} \right.\)

Bốn nghiệm đó là \( - \sqrt {{y_2}} , - \sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_2}} .\)

Điều kiện để 4 nghiệm trên lập thành cấp số cộng là \(\sqrt {{y_2}}  - \sqrt {{y_1}}  = 2\sqrt {{y_1}} \) hay \({y_2} = 9{y_1}\,\,\left( 2 \right)\)

Theo \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} + {y_2} = 3m + 5\,\,\left( 3 \right)\\{y_1}{y_2} = {\left( {m + 1} \right)^2}\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Từ (2) và (3) ta có: \({y_1} + 9{y_1} = 3m + 5\)\( \Leftrightarrow {y_1} = \dfrac{{3m + 5}}{{10}}\)

Thay \({y_1} = \dfrac{{3m + 5}}{{10}}\) và \({y_2} = \dfrac{{9\left( {3m + 5} \right)}}{{10}}\) vào \(\left( 4 \right)\) ta được:

\(\dfrac{{3m + 5}}{{10}}.\dfrac{{9\left( {3m + 5} \right)}}{{10}} = {\left( {m + 1} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {3m + 5} \right)^2} = \dfrac{{100{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{9}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 5 = \dfrac{{10\left( {m + 1} \right)}}{3}\\3m + 5 =  - \dfrac{{10\left( {m + 1} \right)}}{3}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9m + 15 = 10m + 10\\9m + 15 =  - 10m - 10\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m =  - \dfrac{{25}}{{19}}\end{array} \right.\)\(\left( {TM} \right)\)

Vậy \(m = 5\) và \(m =  - \dfrac{{25}}{{19}}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store