Đề 3 trang 88 Sách bài tập (SBT) Hình học 11


Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác BCD. Qua M kẻ các tia song song với AB, AC, AD. Các tia này theo thứ tự cắt các mặt (ACD), (ABD), (ABC) lần lượt tại B’, C’, D’

Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác BCD. Qua M kẻ các tia song song với AB, AC, AD. Các tia này theo thứ tự cắt các mặt (ACD), (ABD), (ABC) lần lượt tại B’, C’, D’

Câu 1. ( 3 điểm)

Xác định các giao điểm B’, C’, D’

Câu 2. ( 3 điểm)

Chứng minh \({{MB'} \over {AB}} + {{MC'} \over {AC}} + {{M{\rm{D}}'} \over {A{\rm{D}}}} = 1\)

Câu 3. ( 4 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \({{MB'} \over {AB}}.{{MC'} \over {AC}}.{{M{\rm{D}}'} \over {A{\rm{D}}}}\)

Giải:

Câu 1. 

(h.2.83) \(\left( {ABM} \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right) = BM\)

Gọi I, J, K  lần lượt là giao điểm của BM và CD; CM  và BD; DM và BC.

Ta có : \(\left( {ABM} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right) = AI\). Trong mặt phẳng (ABM), kẻ \(MB'\parallel AB\) với \(B' = MB' \cap AI\).

Ta có: \(B' = MB' \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\)

Các điểm C’ và D’ được xác định tương tự.

Câu 2. 

(h.2.84)  Trong tam giác ABI, ta có:

\({{MB'} \over {AB}} = {{MI} \over {BI}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tương tự ta cũng có:

\({{MC'} \over {AC}} = {{MJ} \over {CJ}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

\({{MD'} \over {AD}} = {{MK} \over {DK}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Cộng (1), (2), (3) lại ta có:

\({{MB'} \over {AB}} + {{MC'} \over {AC}} + {{M{\rm{D}}'} \over {A{\rm{D}}}} = {{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}}\) 

Ta chứng minh:   

\({{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}} = 1\)

Dễ thấy rằng :

\({{{S_{MB{\rm{D}}}}} \over {{S_{CB{\rm{D}}}}}} = {{{1 \over 2}B{\rm{D}}.d\left( {M,B{\rm{D}}} \right)} \over {{1 \over 2}B{\rm{D}}{\rm{.d}}\left( {C,B{\rm{D}}} \right)}} = {{MJ} \over {CJ}}\)

Tương tự

\({{{S_{MC{\rm{D}}}}} \over {{S_{{\rm{BCD}}}}}} = {{MI} \over {BI}}\), \({{{S_{MBC}}} \over {{S_{DBC}}}} = {{MK} \over {DK}}\)

Như vậy:

\({{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}} = {{{S_{MC{\rm{D}}}} + {S_{MB{\rm{D}}}} + {S_{MBC}}} \over {{S_{BC{\rm{D}}}}}} = {{{S_{BC{\rm{D}}}}} \over {{S_{BC{\rm{D}}}}}} = 1\) 

Câu 3.

\({{MB'} \over {AB}} + {{MC'} \over {AC}} + {{MD'} \over {A{\rm{D}}}} \le {\left( {{{{{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}}} \over 3}} \right)^3} = {1 \over 9}\). Dấu bằng xảy ra khi \({{MI} \over {BI}} = {{MJ} \over {CJ}} = {{MK} \over {DK}} = {1 \over 3}\), chẳng hạn khi M là trọng tâm.

Vậy \(\max \left( {{{MB'} \over {AB}}.{{MC'} \over {AC}}.{{MD'} \over {A{\rm{D}}}}} \right) = {1 \over 9}\)   

Sachbaitap.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.