Đề 3 trang 88 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác BCD. Qua M kẻ các tia song song với AB, AC, AD. Các tia này theo thứ tự cắt các mặt (ACD), (ABD), (ABC) lần lượt tại B’, C’, D’

Câu 1. ( 3 điểm)

Xác định các giao điểm B’, C’, D’

Câu 2. ( 3 điểm)

Chứng minh \({{MB'} \over {AB}} + {{MC'} \over {AC}} + {{M{\rm{D}}'} \over {A{\rm{D}}}} = 1\)

Câu 3. ( 4 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \({{MB'} \over {AB}}.{{MC'} \over {AC}}.{{M{\rm{D}}'} \over {A{\rm{D}}}}\)

Giải:

Câu 1. 

(h.2.83) \(\left( {ABM} \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right) = BM\)

Gọi I, J, K  lần lượt là giao điểm của BM và CD; CM  và BD; DM và BC.

Ta có : \(\left( {ABM} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right) = AI\). Trong mặt phẳng (ABM), kẻ \(MB'\parallel AB\) với \(B' = MB' \cap AI\).

Ta có: \(B' = MB' \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\)

Các điểm C’ và D’ được xác định tương tự.

Câu 2. 

(h.2.84)  Trong tam giác ABI, ta có:

\({{MB'} \over {AB}} = {{MI} \over {BI}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tương tự ta cũng có:

\({{MC'} \over {AC}} = {{MJ} \over {CJ}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

\({{MD'} \over {AD}} = {{MK} \over {DK}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Cộng (1), (2), (3) lại ta có:

\({{MB'} \over {AB}} + {{MC'} \over {AC}} + {{M{\rm{D}}'} \over {A{\rm{D}}}} = {{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}}\) 

Ta chứng minh:   

\({{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}} = 1\)

Dễ thấy rằng :

\({{{S_{MB{\rm{D}}}}} \over {{S_{CB{\rm{D}}}}}} = {{{1 \over 2}B{\rm{D}}.d\left( {M,B{\rm{D}}} \right)} \over {{1 \over 2}B{\rm{D}}{\rm{.d}}\left( {C,B{\rm{D}}} \right)}} = {{MJ} \over {CJ}}\)

Tương tự

\({{{S_{MC{\rm{D}}}}} \over {{S_{{\rm{BCD}}}}}} = {{MI} \over {BI}}\), \({{{S_{MBC}}} \over {{S_{DBC}}}} = {{MK} \over {DK}}\)

Như vậy:

\({{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}} = {{{S_{MC{\rm{D}}}} + {S_{MB{\rm{D}}}} + {S_{MBC}}} \over {{S_{BC{\rm{D}}}}}} = {{{S_{BC{\rm{D}}}}} \over {{S_{BC{\rm{D}}}}}} = 1\) 

Câu 3.

\({{MB'} \over {AB}} + {{MC'} \over {AC}} + {{MD'} \over {A{\rm{D}}}} \le {\left( {{{{{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}}} \over 3}} \right)^3} = {1 \over 9}\). Dấu bằng xảy ra khi \({{MI} \over {BI}} = {{MJ} \over {CJ}} = {{MK} \over {DK}} = {1 \over 3}\), chẳng hạn khi M là trọng tâm.

Vậy \(\max \left( {{{MB'} \over {AB}}.{{MC'} \over {AC}}.{{MD'} \over {A{\rm{D}}}}} \right) = {1 \over 9}\)   

Sachbaitap.com