Đề 3 trang 88 Sách bài tập (SBT) Hình học 11


Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác BCD. Qua M kẻ các tia song song với AB, AC, AD. Các tia này theo thứ tự cắt các mặt (ACD), (ABD), (ABC) lần lượt tại B’, C’, D’

Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác BCD. Qua M kẻ các tia song song với AB, AC, AD. Các tia này theo thứ tự cắt các mặt (ACD), (ABD), (ABC) lần lượt tại B’, C’, D’

Quảng cáo
decumar

Câu 1. ( 3 điểm)

Xác định các giao điểm B’, C’, D’

Câu 2. ( 3 điểm)

Chứng minh \({{MB'} \over {AB}} + {{MC'} \over {AC}} + {{M{\rm{D}}'} \over {A{\rm{D}}}} = 1\)

Câu 3. ( 4 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \({{MB'} \over {AB}}.{{MC'} \over {AC}}.{{M{\rm{D}}'} \over {A{\rm{D}}}}\)

Giải:

Câu 1. 

(h.2.83) \(\left( {ABM} \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right) = BM\)

Gọi I, J, K  lần lượt là giao điểm của BM và CD; CM  và BD; DM và BC.

Ta có : \(\left( {ABM} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right) = AI\). Trong mặt phẳng (ABM), kẻ \(MB'\parallel AB\) với \(B' = MB' \cap AI\).

Ta có: \(B' = MB' \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\)

Các điểm C’ và D’ được xác định tương tự.

Câu 2. 

(h.2.84)  Trong tam giác ABI, ta có:

\({{MB'} \over {AB}} = {{MI} \over {BI}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tương tự ta cũng có:

\({{MC'} \over {AC}} = {{MJ} \over {CJ}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

\({{MD'} \over {AD}} = {{MK} \over {DK}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Cộng (1), (2), (3) lại ta có:

\({{MB'} \over {AB}} + {{MC'} \over {AC}} + {{M{\rm{D}}'} \over {A{\rm{D}}}} = {{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}}\) 

Ta chứng minh:   

\({{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}} = 1\)

Dễ thấy rằng :

\({{{S_{MB{\rm{D}}}}} \over {{S_{CB{\rm{D}}}}}} = {{{1 \over 2}B{\rm{D}}.d\left( {M,B{\rm{D}}} \right)} \over {{1 \over 2}B{\rm{D}}{\rm{.d}}\left( {C,B{\rm{D}}} \right)}} = {{MJ} \over {CJ}}\)

Tương tự

\({{{S_{MC{\rm{D}}}}} \over {{S_{{\rm{BCD}}}}}} = {{MI} \over {BI}}\), \({{{S_{MBC}}} \over {{S_{DBC}}}} = {{MK} \over {DK}}\)

Như vậy:

\({{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}} = {{{S_{MC{\rm{D}}}} + {S_{MB{\rm{D}}}} + {S_{MBC}}} \over {{S_{BC{\rm{D}}}}}} = {{{S_{BC{\rm{D}}}}} \over {{S_{BC{\rm{D}}}}}} = 1\) 

Câu 3.

\({{MB'} \over {AB}} + {{MC'} \over {AC}} + {{MD'} \over {A{\rm{D}}}} \le {\left( {{{{{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}}} \over 3}} \right)^3} = {1 \over 9}\). Dấu bằng xảy ra khi \({{MI} \over {BI}} = {{MJ} \over {CJ}} = {{MK} \over {DK}} = {1 \over 3}\), chẳng hạn khi M là trọng tâm.

Vậy \(\max \left( {{{MB'} \over {AB}}.{{MC'} \over {AC}}.{{MD'} \over {A{\rm{D}}}}} \right) = {1 \over 9}\)   

Sachbaitap.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.