Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Ôn tập cuối năm Đại số và giải tích 11

Bài 21 trang 235 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 21 trang 235 sách bài tập đại số và giải tích 11. Xác định A để f(x) liên tục tại x = 0. Với giá trị A tìm được, hàm số có đạo hàm tại x = 0 không?..

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\sin \frac{1}{x}\,\text{ nếu }\,x \ne 0\\A\,\text{ nếu }\,x = 0\end{array} \right.\)

Xác định A để f(x) liên tục tại x = 0. Với giá trị A tìm được, hàm số có đạo hàm tại x = 0 không?

Lời giải chi tiết

Ta có: \(f\left( 0 \right) = A\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^2}\sin \frac{1}{x}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x}}}{{x.\frac{1}{x}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{x^2}}}{x}.\frac{{\sin \frac{1}{x}}}{{\frac{1}{x}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x.\frac{{\sin \frac{1}{x}}}{{\frac{1}{x}}}} \right)\\ = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x} \right).\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{1}{x}}}{{\frac{1}{x}}}} \right)\\ = 0.1\\ = 0\end{array}\)

Hàm số liên tục tại \(x = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow A = 0\end{array}\)

Vậy A = 0.

Khi đó, \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\sin \frac{1}{x}\,\text{ nếu }\,x \ne 0\\0\,\text{ nếu }\,x = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x} - 0}}{{x - 0}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x\sin \frac{1}{x}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{x\sin \frac{1}{x}}}{{x.\frac{1}{x}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin \frac{1}{x}}}{{\frac{1}{x}}}} \right)\\ = 1\end{array}\)

Vậy f(x) có đạo hàm tại x = 0 và \(f'\left( 0 \right) = 1\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store