Bài 15 trang 233 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 15 trang 233 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tính giới hạn...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {x_n}\)

LG a

\({x_n} = \frac{{\sqrt {{n^2} + 1}  + \sqrt n }}{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}} - n}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\lim {x_n} = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1}  + \sqrt n }}{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}} - n}}\\ = \lim \frac{{\sqrt {{n^2}\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}  + \frac{n}{{\sqrt n }}}}{{\sqrt[3]{{{n^3}\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} - n}}\\ = \lim \frac{{n\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}}  + n.\frac{1}{{\sqrt n }}}}{{n\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} - n}}\\ = \lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}}  + \frac{1}{{\sqrt n }}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} - 1} \right)}}\\ = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}}  + \frac{1}{{\sqrt n }}}}{{\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} - 1}} =  + \infty \end{array}\)

Vì \(\lim \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}}  + \frac{1}{{\sqrt n }}} \right) = 1 > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\lim \left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} - 1} \right) = 0\\\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} - 1 > 0\end{array} \right.\)

LG b

\({x_n} = \left( {n - \frac{1}{n}} \right)\left( {\frac{{1 - 4n}}{{2{n^2}}}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\lim {x_n} = \lim \left( {n - \frac{1}{n}} \right)\left( {\frac{{1 - 4n}}{{2{n^2}}}} \right)\\ = \lim \frac{{\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {1 - 4n} \right)}}{{2{n^3}}}\\ = \lim \frac{{\frac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}.\frac{{1 - 4n}}{n}}}{{\frac{{2{n^3}}}{{{n^3}}}}}\\ = \lim \frac{{\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right).\left( {\frac{1}{n} - 4} \right)}}{2}\\ = \frac{{\left( {1 - 0} \right)\left( {0 - 4} \right)}}{2} =  - 2\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}\lim {x_n} = \lim \left( {n - \frac{1}{n}} \right)\left( {\frac{{1 - 4n}}{{2{n^2}}}} \right)\\ = \lim \left[ {n\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right).\frac{1}{n}\left( {\frac{{1 - 4n}}{{2n}}} \right)} \right]\\ = \lim \left[ {n\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right).\frac{1}{n}\left( {\frac{1}{{2n}} - 2} \right)} \right]\\ = \lim \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\left( {\frac{1}{{2n}} - 2} \right)\\ = \left( {1 - 0} \right)\left( {0 - 2} \right) =  - 2\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.