Bài 15 trang 233 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 15 trang 233 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tính giới hạn...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {x_n}\)

LG a

\({x_n} = \frac{{\sqrt {{n^2} + 1}  + \sqrt n }}{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}} - n}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\lim {x_n} = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1}  + \sqrt n }}{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}} - n}}\\ = \lim \frac{{\sqrt {{n^2}\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}  + \frac{n}{{\sqrt n }}}}{{\sqrt[3]{{{n^3}\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} - n}}\\ = \lim \frac{{n\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}}  + n.\frac{1}{{\sqrt n }}}}{{n\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} - n}}\\ = \lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}}  + \frac{1}{{\sqrt n }}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} - 1} \right)}}\\ = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}}  + \frac{1}{{\sqrt n }}}}{{\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} - 1}} =  + \infty \end{array}\)

Vì \(\lim \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}}  + \frac{1}{{\sqrt n }}} \right) = 1 > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\lim \left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} - 1} \right) = 0\\\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} - 1 > 0\end{array} \right.\)

LG b

\({x_n} = \left( {n - \frac{1}{n}} \right)\left( {\frac{{1 - 4n}}{{2{n^2}}}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\lim {x_n} = \lim \left( {n - \frac{1}{n}} \right)\left( {\frac{{1 - 4n}}{{2{n^2}}}} \right)\\ = \lim \frac{{\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {1 - 4n} \right)}}{{2{n^3}}}\\ = \lim \frac{{\frac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}.\frac{{1 - 4n}}{n}}}{{\frac{{2{n^3}}}{{{n^3}}}}}\\ = \lim \frac{{\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right).\left( {\frac{1}{n} - 4} \right)}}{2}\\ = \frac{{\left( {1 - 0} \right)\left( {0 - 4} \right)}}{2} =  - 2\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}\lim {x_n} = \lim \left( {n - \frac{1}{n}} \right)\left( {\frac{{1 - 4n}}{{2{n^2}}}} \right)\\ = \lim \left[ {n\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right).\frac{1}{n}\left( {\frac{{1 - 4n}}{{2n}}} \right)} \right]\\ = \lim \left[ {n\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right).\frac{1}{n}\left( {\frac{1}{{2n}} - 2} \right)} \right]\\ = \lim \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\left( {\frac{1}{{2n}} - 2} \right)\\ = \left( {1 - 0} \right)\left( {0 - 2} \right) =  - 2\end{array}\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài