Bài 19 trang 234 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 19 trang 234 sách bài tập đại số và giải tích 11. Hãy tính giới hạn...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các giới hạn

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin x - \sin a}}{{x - a}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin x - \sin a}}{{x - a}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{2\cos \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{2.\frac{{x - a}}{2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {\cos \frac{{x + a}}{2}.\frac{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{\frac{{x - a}}{2}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {\cos \frac{{x + a}}{2}} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {\frac{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{\frac{{x - a}}{2}}}} \right)\\ = \cos a.1\\ = \cos a\end{array}\)

Cách khác:

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin x\) có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin x - \sin a}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}}\\ = f'(a)\end{array}\)

Mà \(f'\left( x \right) = \cos x \Rightarrow f'\left( a \right) = \cos a\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin x - \sin a}}{{x - a}} = f'\left( a \right) = \cos a\).

LG b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 - x} \right)\tan \frac{{\pi x}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 - x} \right)\tan \frac{{\pi x}}{2}\)

Đặt \(t = 1 - x\), khi \(x \to 1\) thì \(t \to 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 - x} \right)\tan \frac{{\pi x}}{2}\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left[ {t.\tan \frac{{\pi \left( {1 - t} \right)}}{2}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left[ {t.\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi t}}{2}} \right)} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {t.\cot \frac{{\pi t}}{2}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {t.\frac{{\cos \frac{{\pi t}}{2}}}{{\sin \frac{{\pi t}}{2}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {\frac{t}{{\sin \frac{{\pi t}}{2}}}.\cos \frac{{\pi t}}{2}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {\frac{{\frac{{\pi t}}{2}.\frac{2}{\pi }}}{{\sin \frac{{\pi t}}{2}}}.\cos \frac{{\pi t}}{2}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {\frac{{\frac{{\pi t}}{2}}}{{\sin \frac{{\pi t}}{2}}}.\frac{2}{\pi }.\cos \frac{{\pi t}}{2}} \right)\\ = \frac{2}{\pi }.\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\frac{{\pi t}}{2}}}{{\sin \frac{{\pi t}}{2}}}.\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \cos \frac{{\pi t}}{2}\\ = \frac{2}{\pi }.1.1\\ = \frac{2}{\pi }\end{array}\)

LG c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{3}} \frac{{2{{\sin }^2}x + \sin x - 1}}{{2{{\sin }^2}x - 3\sin x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{3}} \frac{{2{{\sin }^2}x + \sin x - 1}}{{2{{\sin }^2}x - 3\sin x + 1}}\\ = \frac{{2.{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - 1}}{{2.{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - 3.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1}}\\ = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{{5 - 3\sqrt 3 }}\end{array}\)

LG d

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x - \sin x\cos x}}{{{{\sin }^3}x\cos x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x\left( {1 - \cos x} \right)}}{{{{\sin }^3}x\cos x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{{\sin }^2}x\cos x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{4{{\sin }^2}\frac{x}{2}{{\cos }^2}\frac{x}{2}.\cos x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}.\cos x}}\\ = \frac{1}{{2.{{\cos }^2}0.\cos 0}}\\ = \frac{1}{2}\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài