Bài 19 trang 234 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 19 trang 234 sách bài tập đại số và giải tích 11. Hãy tính giới hạn...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các giới hạn

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin x - \sin a}}{{x - a}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin x - \sin a}}{{x - a}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{2\cos \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{2.\frac{{x - a}}{2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {\cos \frac{{x + a}}{2}.\frac{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{\frac{{x - a}}{2}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {\cos \frac{{x + a}}{2}} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {\frac{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{\frac{{x - a}}{2}}}} \right)\\ = \cos a.1\\ = \cos a\end{array}\)

Cách khác:

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin x\) có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin x - \sin a}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}}\\ = f'(a)\end{array}\)

Mà \(f'\left( x \right) = \cos x \Rightarrow f'\left( a \right) = \cos a\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin x - \sin a}}{{x - a}} = f'\left( a \right) = \cos a\).

Quảng cáo
decumar

LG b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 - x} \right)\tan \frac{{\pi x}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 - x} \right)\tan \frac{{\pi x}}{2}\)

Đặt \(t = 1 - x\), khi \(x \to 1\) thì \(t \to 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 - x} \right)\tan \frac{{\pi x}}{2}\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left[ {t.\tan \frac{{\pi \left( {1 - t} \right)}}{2}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left[ {t.\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi t}}{2}} \right)} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {t.\cot \frac{{\pi t}}{2}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {t.\frac{{\cos \frac{{\pi t}}{2}}}{{\sin \frac{{\pi t}}{2}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {\frac{t}{{\sin \frac{{\pi t}}{2}}}.\cos \frac{{\pi t}}{2}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {\frac{{\frac{{\pi t}}{2}.\frac{2}{\pi }}}{{\sin \frac{{\pi t}}{2}}}.\cos \frac{{\pi t}}{2}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {\frac{{\frac{{\pi t}}{2}}}{{\sin \frac{{\pi t}}{2}}}.\frac{2}{\pi }.\cos \frac{{\pi t}}{2}} \right)\\ = \frac{2}{\pi }.\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\frac{{\pi t}}{2}}}{{\sin \frac{{\pi t}}{2}}}.\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \cos \frac{{\pi t}}{2}\\ = \frac{2}{\pi }.1.1\\ = \frac{2}{\pi }\end{array}\)

LG c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{3}} \frac{{2{{\sin }^2}x + \sin x - 1}}{{2{{\sin }^2}x - 3\sin x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{3}} \frac{{2{{\sin }^2}x + \sin x - 1}}{{2{{\sin }^2}x - 3\sin x + 1}}\\ = \frac{{2.{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - 1}}{{2.{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - 3.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1}}\\ = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{{5 - 3\sqrt 3 }}\end{array}\)

LG d

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x - \sin x\cos x}}{{{{\sin }^3}x\cos x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x\left( {1 - \cos x} \right)}}{{{{\sin }^3}x\cos x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{{\sin }^2}x\cos x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{4{{\sin }^2}\frac{x}{2}{{\cos }^2}\frac{x}{2}.\cos x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}.\cos x}}\\ = \frac{1}{{2.{{\cos }^2}0.\cos 0}}\\ = \frac{1}{2}\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.