Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài tập ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số ..

Bài 3.47 trang 134 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.47 trang 134 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tính tổng :...

Đề bài

Tính tổng :

a) \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{{{2^2}}} + \dfrac{5}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\) ;

b) \({1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} + ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}.{n^2}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Đặt tổng là \({S_n}\) và tính \(2{S_n}.\)

b) Chú ý \({n^2} - {\left( {n + 1} \right)^2} =  - 2n - 1\), tính tổng đã cho bằng cách nhận xét các số hạng mới.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

a) Ta có : \({S_n} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{{{2^2}}} + \dfrac{5}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\)

\(2{S_n} = 1 + \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{{{2^2}}} + ... + \dfrac{{2n - 1}}{{{2^{n - 1}}}}\)

\( \Rightarrow 2{S_n} - {S_n}\) \( = 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{2^{n - 2}}}} - \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\)

\( \Rightarrow {S_n} = 2 + \dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{n - 2}} - 1} \right)}}{{\dfrac{1}{2} - 1}} - \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\) \( = 2 - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 2}} + 1 - \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\) \( = 3 - \dfrac{{2n + 3}}{{{2^n}}}\)

b) Nếu \(n = 2k + 1\) thì :

\({S_n} = {1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} + ... + {\left( {2k + 1} \right)^2}\)

\( =  - 3 - 7 - 11 - ... - \left( {4k - 1} \right) + {\left( {2k + 1} \right)^2}\)

Dãy tổng \( - 3 - 7 - 11 - ... - \left( {4k - 1} \right)\) là dãy tổng \(k\) số hạng đầu của cấp số cộng có \({u_1} =  - 3,d =  - 4\) nên \( - 3 - 7 - 11 - ... - \left( {4k - 1} \right)\) \( = \dfrac{{k\left[ {2.\left( { - 3} \right) + \left( {k - 1} \right).\left( { - 4} \right)} \right]}}{2} = k\left( { - 2k - 1} \right)\)

Do đó \({S_n} = k\left( { - 2k - 1} \right) + {\left( {2k + 1} \right)^2}\) \( = 2{k^2} + 3k + 1\)

Nếu \(n = 2k\) thì \({S_n} = {1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} + ... + {\left( {2k - 1} \right)^2} - {\left( {2k} \right)^2}\)

\( =  - 3 - 7 - 11 - ... - \left( {4k - 1} \right)\) \( = k\left( { - 2k - 1} \right) =  - 2{k^2} - k\)

Vậy \({S_n} = \left\{ \begin{array}{l}2{k^2} + 3k + 1\,neu\,n = 2k + 1\\ - 2{k^2} - k\,neu\,n = 2k\end{array} \right.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 4 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua