Bài 3.38 trang 132 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.38 trang 132 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh các đẳng thức sau với n ∈ N*...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các đẳng thức sau với \(n \in {N^*}\)

LG a

\({A_n} = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \) \(= \dfrac{{n\left( {n + 3} \right)}}{{4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\)

Lời giải chi tiết:

Kiểm tra với \(n = 1,\) ta có \({A_1} = \dfrac{1}{{1.2.3}} = \dfrac{1}{6} = \dfrac{{1.\left( {1 + 3} \right)}}{{4.2.3}}\).

Giả sử ta có \({A_k} = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + ... + \dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{k\left( {k + 3} \right)}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\)

Ta cần chứng minh \({A_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 4} \right)}}{{4\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\)

Thật vậy,

\({A_{k + 1}} = {A_k} + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\) \( = \dfrac{{k\left( {k + 3} \right)}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\)

\( = \dfrac{{k{{\left( {k + 3} \right)}^2} + 4}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\) \( = \dfrac{{{k^3} + 6{k^2} + 9k + 4}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\) \( = \dfrac{{\left( {k + 4} \right){{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\) \( = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 4} \right)}}{{4\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

LG b

\({B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}  \) \(= \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6}\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Kiểm tra với \(n = 1\) ta có \({B_1} = \dfrac{{1.\left( {1 + 1} \right)}}{2} = 1 = \dfrac{{1\left( {1 + 1} \right)\left( {1 + 2} \right)}}{6}\) nên \(n = 1\) đúng.

Giả sử đã có \({B_k} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{6}.\)

Ta cần chứng minh \({B_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{6}\)

Thật vậy,

\({B_{k + 1}} = {B_k} + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}\) \( = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{6} + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}\) \( = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) + 3\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{6}\) \( = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{6}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

LG c

\({S_n} = \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx  \) \(= \dfrac{{\sin \dfrac{{nx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}.\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Kiểm tra với \(n = 1\) ta có: \({S_1} = \sin x = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}.\sin x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\) nên đúng.

Giả sử đã có \({S_k} = \dfrac{{\sin \dfrac{{kx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)}}{2}x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}.\)

Ta cần chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 2} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\)

Thật vậy,

\({S_{k + 1}} = {S_k} + \sin \left( {k + 1} \right)x\) \( = \dfrac{{\sin \dfrac{{kx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)}}{2}x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}} + \sin \left( {k + 1} \right)x\) \( = \dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)x}}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{\left( {2k + 3} \right)x}}{2} - \cos \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)x}}{2}} \right)}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\)

\( = \dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{\left( {2k + 3} \right)x}}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right)}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\) \( = \dfrac{{\sin \dfrac{{\left( {k + 2} \right)x}}{2}\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\)

Vậy \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 2} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\left( {dpcm} \right).\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài