Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài tập ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số ..

Bài 3.37 trang 132 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.37 trang 132 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng

LG a

\({n^5} - n\) chia hết cho 5 với mọi \(n \in N^*\) 

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\) thì \({n^5} - n = {1^5} - 1 = 0 \vdots 5\) nên mệnh đề đúng.

Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là \(\left( {{k^5} - k} \right) \vdots 5\). Ta sẽ chứng minh \(\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^5} - \left( {k + 1} \right)} \right] \vdots 5\).

Thật vậy,

\({\left( {k + 1} \right)^5} - \left( {k + 1} \right)\) \( = \left( {{k^5} + 5{k^4} + 10{k^3} + 10{k^2} + 5k + 1} \right) - k - 1\)

\( = \left( {{k^5} - k} \right) + \left( {5{k^4} + 10{k^3} + 10{k^2} + 5k} \right)\)

Vì \(\left( {{k^5} - k} \right) \vdots 5\) và \(\left( {5{k^4} + 10{k^3} + 10{k^2} + 5k} \right) \vdots 5\) nên \({\left( {k + 1} \right)^5} - \left( {k + 1} \right) \vdots 5\)

Vậy ta có đpcm.

LG b

Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \({A_n} = {n^3} + {\left( {n + 1} \right)^3} + {\left( {n + 2} \right)^3},\) dễ thấy \({A_1} \vdots 9.\)

Giả sử đã có \({A_k} \vdots 9\) với \(k \ge 1.\) Ta phải chứng minh \({A_{k + 1}} \vdots 9.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + {\left( {k + 2} \right)^3} + {\left( {k + 3} \right)^3}\\ = {\left( {k + 1} \right)^3} + {\left( {k + 2} \right)^3} + \left( {{k^3} + 9{k^2} + 27k + 27} \right)\\ = {k^3} + {\left( {k + 1} \right)^3} + {\left( {k + 2} \right)^3} + 9{k^2} + 27k + 27\\ = {A_k} + 9{k^2} + 27k + 27.\end{array}\)

Vì \({A_k} \vdots 9\) và \(9{k^2} + 27k + 27 \vdots 9\) nên \({A_{k + 1}} \vdots 9\).

Vậy ta có đpcm.

LG c

\({n^3} - n\) chia hết cho 6 với mọi \(n \in N^*\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \({B_n} = {n^3} - n\).

Với \(n = 1\) thì \({B_1} = {1^3} - 1 = 0 \vdots 6\).

Giả sử ta có \({B_k} \vdots 6,k \ge 1\). Ta cần chứng minh \({B_{k + 1}} \vdots 6\).

Thật vậy, \({B_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} - \left( {k + 1} \right)\) \( = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 - k - 1\) \( = \left( {{k^3} - k} \right) + 3{k^2} + 3k\)\( = {B_k} + 3{k^2} + 3k \vdots 3\)

Vậy ta có đpcm.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store