Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài tập ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số ..

Bài 3.41 trang 133 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.41 trang 133 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho dãy số ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{3}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{3n}}{\rm{    voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)

LG a

Viết năm số hạng đầu của dãy số

Phương pháp giải:

Thay các giá trị của \(n\) từ \(1\) đến \(5\) để tìm \(5\) số hạng đầu.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = \frac{1}{3}\\
{u_2} = \frac{{\left( {1 + 1} \right){u_1}}}{{3.1}} = \frac{{2.\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{9}\\
{u_3} = \frac{{\left( {2 + 1} \right){u_2}}}{{3.2}} = \frac{{3.\frac{2}{9}}}{6} = \frac{1}{9}\\
{u_4} = \frac{{\left( {3 + 1} \right).{u_3}}}{{3.3}} = \frac{{4.\frac{1}{9}}}{9} = \frac{4}{{81}}\\
{u_5} = \frac{{\left( {4 + 1} \right).{u_4}}}{{3.4}} = \frac{{5.\frac{4}{{81}}}}{{12}} = \frac{5}{{243}}
\end{array}\)

Năm số hạng đầu là \(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{9},\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{{81}},\dfrac{5}{{243}}.\)

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

LG b

Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân.

Phương pháp giải:

Từ công thức của \(\left( {{u_n}} \right)\) suy ra công thức của \(\left( {{v_n}} \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Lập tỉ số \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}}  = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}:\dfrac{{{u_n}}}{n}\)

\(= \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}.\dfrac{n}{{{u_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}.\dfrac{n}{{n + 1}}.{\rm{                       }}\left( 1 \right)\)

Theo công thức định nghĩa ta có \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{n + 1}}{{3n}}.{\rm{                                }}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \dfrac{{n + 1}}{{3n}}.\dfrac{n}{{n + 1}}= \dfrac{1}{3}\) hay \({v_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}{v_n}.\)

Vậy, dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, có \({v_1} = \dfrac{1}{3},q = \dfrac{1}{3}\) hay \({v_n} = \frac{1}{3}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\)

LG c

Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\)

Phương pháp giải:

Tính \(\dfrac{{{v_n}}}{{{v_{n - 1}}}}.\dfrac{{{v_{n - 1}}}}{{{v_{n - 2}}}}...\dfrac{{{v_3}}}{{{v_2}}}.\dfrac{{{v_2}}}{{{v_1}}}\) tìm công thức của \({v_n}\), từ đó suy ra \({u_n}\) .

Lời giải chi tiết:

Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là CSN có \({v_1} = \dfrac{1}{3},q = \dfrac{1}{3}\) nên \({v_n} = \dfrac{1}{3}.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \dfrac{1}{{{3^n}}}.\)

Suy ra \({u_n} = n{v_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}\).

Vậy \({u_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua