Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài tập ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số ..

Bài 3.39 trang 133 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.39 trang 133 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh các bất đẳng thức sau...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các bất đẳng thức sau

LG a

\({3^{n - 1}} > n\left( {n + 2} \right)\) với \(n \ge 4\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \ge p,p \in {N^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = p\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge p} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\)

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 4\) thì \({3^{4 - 1}} = 27 > 4\left( {4 + 2} \right) = 24.\)

Giả sử đã có \({3^{k - 1}} > k\left( {k + 2} \right)\) với \(k \ge 4.{\rm{      }}\left( 1 \right)\)

Nhân hai vế của (1) với \(3\), ta có

\({3.3^{k - 1}} = {3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > 3k\left( {k + 2} \right)\) \({\rm{ =  }}\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right]\) \( + 2{k^2} + 2k - 3.\)

Do \(2{k^2} + 2k - 3 > 0\) nên \({3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > \left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right],\) chứng tỏ bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1.\)

LG b

\({2^{n - 3}} > 3n - 1\) với \(n \ge 8.\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \ge p,p \in {N^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = p\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge p} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 8\) ta có: \({2^{8 - 3}} = {2^5} = 32 > 23 = 3.8 - 1\) nên đúng.

Giả sử ta có \({2^{k - 3}} > 3k - 1\,\,\left( 1 \right)\) với \(k \ge 8\), ta cần chứng minh \({2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3.\left( {k + 1} \right) - 1\)

Thật vậy, nhân cả hai vế của \(\left( 1 \right)\) với \(2\) ta có:

\({2^{k - 2}} > 3k.2 - 2\)\( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3k + 3 + 3k - 5\)  \( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) + 3k - 5\)

\( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1 + 3k - 4\) \( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1\)

Hay \({2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1\) nên bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).

Từ đó suy ra đpcm.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store