Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài tập ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số ..

Bài 3.48 trang 134 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.48 trang 134 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tính tổng :...

Đề bài

Tính tổng :

a) \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\) ;

b) \({S_n} = 1.x + 2.{x^2} + 3.{x^3} + ... + n{x^n}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Nhân hai vế của hệ thức \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\) với \(a\) và tính hiệu

\({S_n} - a{S_n} = \left( {1 - a} \right){S_n}.\)

b) Tương tự câu a.

Lời giải chi tiết

a) Với \(a = 1,\) ta có \({S_n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}.\)

Giả sử \(a \ne 1.\) Nhân hai vế của hệ thức \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\) với \(a\)  ta được:

\(a.{S_n} = a + 2{a^2} + 3{a^3} + ... + n{a^n}\)

\( \Rightarrow {S_n} - a.{S_n} = 1 + a + {a^2} + ... + {a^{n - 1}} - n{a^n}\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 - a} \right){S_n} = \dfrac{{{a^n} - 1}}{{a - 1}} - n{a^n}\) \( = \dfrac{{{a^n} - 1 - n\left( {a - 1} \right){a^n}}}{{a - 1}}\) \( = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^n} - 1 - n{a^{n + 1}}}}{{a - 1}}\)

\( \Rightarrow \left( {a - 1} \right){S_n} = \dfrac{{n{a^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){a^n} + 1}}{{a - 1}}\) \( \Leftrightarrow {S_n} = \dfrac{{n{a^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){a^n} + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}.\)

b) Nếu \(x = 0\) thì \(S = 0\)

Nếu \(x \ne 0\), chia cả hai vế của \({S_n}\) cho \(x\) ta được:

\(\dfrac{{{S_n}}}{x} = 1 + 2x + 3{x^3} + ... + n{x^{n - 1}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{S_n}}}{x} - {S_n} = 1 + x + {x^2} + ... + {x^{n - 1}} - n{x^n}\\ \Leftrightarrow \frac{{{S_n} - x{S_n}}}{x} = \frac{{{x^n} - 1}}{{x - 1}} - n{x^n} \\\Leftrightarrow \frac{{\left( {1 - x} \right){S_n}}}{x} = \frac{{{x^n} - 1 - n{x^n}\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} \\\Leftrightarrow \frac{{\left( {1 - x} \right){S_n}}}{x} = \frac{{{x^n} - 1 - n{x^{n + 1}} + n{x^n}}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{x}{S_n} = \frac{{\left( {n + 1} \right){x^n} - 1 - n{x^{n + 1}}}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{x}{S_n} = \frac{{n{x^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){x^n} + 1}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow {S_n} = \frac{{n{x^{n + 2}} - n{x^{n + 1}} + x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store