Bài 1.57 trang 44 SBT hình học 10


Giải bài 1.57 trang 44 sách bài tập hình học 10. Cho tam giác ABC. Gọi M, N , P là những điểm được xác định như sau...

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M, N , P\) là những điểm được xác định như sau:\(\overrightarrow {MB}  = 3\overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {NC}  = 3\overrightarrow {NA} ,\)\(\overrightarrow {PA}  = 3\overrightarrow {PB} \)

a) Chứng minh \(2\overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB} \) với mọi điểm \(O\).

b) Chứng minh hai tam giác \(ABC\) và \(MNP\) có cùng trọng tâm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Xen điểm \(M\) vào các véc tơ trong đẳng thức và chứng minh.

b) Chứng minh nếu \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) thì nó cũng là trọng tâm của \(\Delta MNP\).

Cụ thể, chứng minh \(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GP}  = \overrightarrow 0 \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(3\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB} \)\( = 3(\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} ) - (\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} )\)

\(\begin{array}{l}
= 3\overrightarrow {OM} + 3\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {MB} \\
= \left( {3\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OM} } \right) + \left( {3\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} } \right)\\
= 2\overrightarrow {OM} + \left( {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MB} } \right)\\
= 2\overrightarrow {OM} + \overrightarrow 0 \\
= 2\overrightarrow {OM}
\end{array}\)

b) Gọi \(S, Q\) và \(R\) lần lượt là trung điểm của \(BC, CA\) và \(AB\).

\(\overrightarrow {MB}  = 3\overrightarrow {MC}  \Rightarrow \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {SC} \); \(\overrightarrow {NC}  = 3\overrightarrow {NA}  \Rightarrow \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {CQ} \)

\(\overrightarrow {PA}  = 3\overrightarrow {PB}  \Rightarrow \overrightarrow {BP}  = \overrightarrow {RB}  = \overrightarrow {QS} \)

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có:

\(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GP} \)\( = \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BP} \) \( = \left( {\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {BP} } \right)\)

\( = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {CQ}  + \overrightarrow {QS} } \right)\)\( = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \)

Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(MNP\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Ôn tập chương 1: Véc tơ

>> Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài