Bài 8 trang 98 SGK Hình học 11

Bình chọn:
3.3 trên 10 phiếu

Giải bài 8 trang 98 SGK Hình học 11. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD ...

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^{0}.\) Chứng minh rằng: 

 a) \(AB ⊥ CD\);

 b) Nếu \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) thì \(MN ⊥ AB\) và \(MN ⊥ CD\).

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)

\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)

\(=AB.AD.\cos\widehat{BAD}-AB.AC.\cos\widehat{BAC} =0\)

\(\Rightarrow  AB ⊥ CD\).
b) \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN},\)  (1)
    \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.\)   (2)

 Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được: \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).\)

Ta có \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}={1 \over 2}\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )\)

\(= {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - A{B^2})\)

\(= {1 \over 2}(AB.AD.\cos\widehat{BAD}+AB.AC.\cos\widehat{BAC}-AB^2)\)

\(={1 \over 2}(AB.AD.\cos60^0+AB.AC.\cos60^0-AB^2)\)

\(={1 \over 2}\left({1 \over 2}AB^2+{1 \over 2}AB^2-AB^2\right)=0\) \(\Rightarrow  AB ⊥ MN\).

Chứng minh tương tự ta được: \(CD ⊥ MN\).

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng