Bài 2 trang 97 SGK Hình học 11

Bình chọn:
4.2 trên 10 phiếu

Giải bài 2 trang 97 SGK Hình học 11. Cho hình tứ diện ABCD...

Đề bài

Cho hình tứ diện \(ABCD\)

a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0.\)

b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện \(ABCD\) có \(AB ⊥ CD\) và \(AC ⊥ DB\) thì \(AD ⊥ BC\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng quy tắc ba điểm.

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)

\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})\)

\(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).\)

Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} \) \( = \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right)\) \( + \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right)\) \( + \overrightarrow {AD} \left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \( + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \) \( + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \)

\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \) \( + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \( + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \)

\( = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \)

b) \(AB ⊥ CD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0,\)

    \(AC ⊥ DB \Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=0\)

Từ đẳng thức câu a ta có:

\(\Rightarrow\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow AD ⊥ BC\).

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu