Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 8 trang 98 SGK Hình học 11


Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD ...

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^{0}.\) Chứng minh rằng: 

 a) \(AB ⊥ CD\);

 b) Nếu \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) thì \(MN ⊥ AB\) và \(MN ⊥ CD\).

Video hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)

\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)

\(=AB.AD.\cos\widehat{BAD}-AB.AC.\cos\widehat{BAC} =0\)

\(\Rightarrow  AB ⊥ CD\).
b) \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN},\)  (1)
\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.\)   (2)

Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được: 

\(\begin{array}{l}
2\overrightarrow {MN} \\
= \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right)\\
= \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow 0 \\
= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \\
\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)
\end{array}\)

Ta có \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}={1 \over 2}\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )\)

\(= {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - A{B^2})\)

\(= {1 \over 2}(AB.AD.\cos\widehat{BAD}+AB.AC.\cos\widehat{BAC}-AB^2)\)

\(={1 \over 2}(AB.AD.\cos60^0+AB.AC.\cos60^0-AB^2)\)

\(={1 \over 2}\left({1 \over 2}AB^2+{1 \over 2}AB^2-AB^2\right)=0\) \(\Rightarrow  AB ⊥ MN\).

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD} \\
= \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AD} }^2} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - {{\overrightarrow {AC} }^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {A{D^2} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - A{C^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {A{D^2} - AB.AC\cos \widehat {BAD} - A{C^2} + AB.AC.\cos \widehat {BAC}} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {A{B^2} - A{B^2}\cos {{60}^0} - A{B^2} + A{B^2}\cos {{60}^0}} \right)\\
= \dfrac{1}{2}.0 = 0\\
\Rightarrow MN \bot CD
\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 21 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store