Bài 6 trang 119 SGK Hình học 11


Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD...

Đề bài

Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ diện \(ABCD\) là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\) thì \(AC = BD\) và \(AD = BC\).

Video hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết

Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Theo giả thiết \(IJ \, \bot \,  AB, IJ \, \bot  \, CD\).

Qua \(I\) kẻ đường thẳng \(d \,  //  \, CD\), lấy trên \(d\) điểm \(E, F\) sao cho \(IE = IF = \dfrac{CD}{2}\)

Ta có \(IJ  \, \bot  \, CD\,\, (gt) \Rightarrow IJ \bot EF\), lại có \(IJ \,  \bot  \, AB \, \,(gt)\)

\(\Rightarrow IJ  \, \bot  \, (AEBF)\).

Ta có \(CDFE\) là hình bình hành có \(IJ\) là đường trung bình

\( \Rightarrow CE  \, //  \, DF \,  //  \, IJ\) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CE \,  \bot \,  \left( {AEBF} \right) \Rightarrow CE \,  \bot  \, BE\\DF \,  \bot \,  \left( {AEBF} \right) \Rightarrow DF \,  \bot  \, AF\end{array} \right.\)

Ta có: \(\Delta AIF = \Delta BIE(c.g.c)\) suy ra: \(AF=BE\)

Xét \(∆DFA\) và \(∆CEB\) có:

  +) \(\widehat E = \widehat F( = {90^0})\) 

  +) \(AF=BE\)

  +) \(DF=CE\)

\(\Rightarrow ∆DFA=∆CEB(c.g.c) \Rightarrow AD = BC\). 

Chứng minh tương tự ta được \(BD = AC\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 26 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí