Bài 5 trang 83 SGK Đại số và Giải tích 11

Bình chọn:
4.6 trên 9 phiếu

Giải bài 5 trang 83 SGK Đại số và Giải tích 11. Chứng minh rằng

Đề bài

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi \(n\) cạnh là \(\displaystyle {{n(n - 3)} \over 2}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi \(n \in{\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\).

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi \(n \in{\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\).

*) Với \(n = 4\), ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.

Mặt khác thay \(n = 4\) vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: \(\displaystyle {{4(4 - 3)} \over 2} = 2\)

Vậy khẳng định đúng với \(n= 4\).

*) Giả sử khẳng định đúng với \(n = k ≥ 4\), tức là đa giác lồi \(k\) cạnh có số đường chéo là \(\displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}\)

*) Ta phải chứng minh khẳng định đúng với \(n = k + 1\).
Nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi \(k + 1\) cạnh có số đường chéo là \(\displaystyle {{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\)
Xét đa giác lồi \(k + 1\) cạnh 
Đa giác \(k\) cạnh \(A_1A_2...A_k\) có \(\displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}\) đường chéo (giả thiết quy nạp).
Nối \(A_{k+1}\) với các đỉnh \(A_1,A_2,...,A_{k-1}\), ta được thêm \(k -2\) đường chéo, ngoài ra \(A_1A_k\) cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác \(k + 1\) cạnh là

\(\displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}+ k - 2 + 1\) \(\displaystyle ={{{k^2} - k - 2} \over 2} \) \(\displaystyle = {{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\)

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác \(k + 1\) cạnh

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu