Bài 5 trang 83 SGK Đại số và Giải tích 11


Giải bài 5 trang 83 SGK Đại số và Giải tích 11. Chứng minh rằng

Đề bài

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi \(n\) cạnh là \(\displaystyle {{n(n - 3)} \over 2}\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi \(n \in{\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\).

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải chi tiết

Kí hiệu số đường chéo của đa giác n cạnh là \(C_n\).

Ta chứng minh \(\displaystyle C_n = {{n(n - 3)} \over 2}\) (1) với mọi \(n \in{\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\).

*) Với \(n = 4\), ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo.

Mặt khác \(\displaystyle {{4(4 - 3)} \over 2} = 2\) nên (1) đúng với n = 4.

Vậy khẳng định đúng với \(n= 4\).

*) Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 4\), tức là \(C_k = \displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}\)

*) Ta phải chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\).
Tức là \(C_{k+1}=\displaystyle {{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\)
Xét đa giác lồi \(k + 1\) cạnh
Đa giác \(k\) cạnh \(A_1A_2...A_k\) có \(\displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}\) đường chéo (giả thiết quy nạp).
Nối \(A_{k+1}\) với các đỉnh \(A_2,...,A_{k-1}\), ta được thêm \(k -2\) đường chéo.
Ngoài ra \(A_1A_k\) cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác \(k + 1\) cạnh là

\(\displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}+ k - 2 + 1\)

\( = \dfrac{{{k^2} - 3k}}{2} + k - 1 \)

\(= \dfrac{{{k^2} - 3k + 2k - 2}}{2}\)

\(\displaystyle ={{{k^2} - k - 2} \over 2} \)

\( = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k - 2} \right)}}{2}\)

\(\displaystyle = {{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\)

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác \(k + 1\) cạnh

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Chú ý:

Trên đây là cách CM bằng quy najp, các em có thể dễ dàng CM công thức đó bằng kiến thức chương 2 như sau:

Đa giác lồi n cạnh có n đỉnh.

Chọn 2 điểm bất kì trong số các đỉnh của một đa giác ta được 1 cạnh hoặc 1 đường chéo của đa giác.

⇒Tổng số cạnh và đường chéo của đa giác bằng:

\(C_n^2 = \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\)\( = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2\left( {n - 2} \right)!}} = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)

⇒ số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là:

\(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = \dfrac{{{n^2} - n - 2n}}{2}\)\( = \dfrac{{{n^2} - 3n}}{2} = \dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\)

Vậy ta có đpcm.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.6 trên 11 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài