Bài 4 trang 83 SGK Đại số và Giải tích 11


Giải bài 4 trang 83 SGK Đại số và Giải tích 11. Cho tổng...

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tổng \(\displaystyle{S_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {n(n + 1)}}\) với \(n\in {\mathbb N}^*\).

LG a

Tính \({S_1},{S_2},{S_3}\)

Phương pháp giải:

Tính các giá trị \(S_1;S_2;S_3\) bằng cách thay lần lượt \(n=1;n=2;n=3\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {S_1} = {1 \over {1.2}} = {1 \over 2} \cr 
& {S_2} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} = {2 \over 3} \cr 
& {S_3} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} = {3 \over 4} \cr} \)

LG b

Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.

Phương pháp giải:

Dựa vào các giá trị \(S_1;S_2;S_3\) tính được ở trên, dự đoán tổng \(S_n\).

Chứng minh kết quả vừa dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Từ câu a) ta dự đoán \(\displaystyle {S_n} = {n \over {n + 1}}(1)\), với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi \(n = 1\), vế trái là \(\displaystyle {S_1} = {1 \over 2}\) vế phải bằng \(\displaystyle {1 \over {1 + 1}} = {1 \over 2}\).

Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với \(n\ge 1\), tức là 

\(\displaystyle {S_k} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {k(k + 1)}} = {k \over {k + 1}}\)

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là phải chứng minh: \(\displaystyle {S_{k + 1}} = {{k + 1} \over {k + 2}}\)

Ta có :

\(\displaystyle {S_{k + 1}} = {S_k} + {1 \over {(k + 1)(k + 2)}} \)

\(\displaystyle = {k \over {k + 1}} + {1 \over {(k + 1)(k + 2)}}\)

\( = \dfrac{{k\left( {k + 2} \right) + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\)

\(\displaystyle = {{{k^2} + 2k + 1} \over {(k + 1)(k + 2)}} \)

\(= \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\)

\(= {{k + 1} \over {k + 2}}\)

tức là đẳng thức (1) đúng với \(n = k + 1\).

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.

Chú ý:

Một cách dự đoán khác các em có thể tham khảo thêm như sau:

\( = 1 - \frac{1}{{3 + 1}}\)

Dự đoán: \({S_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\) (1)

Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng quy nạp

+ Với n = 1 thì (1) đúng.

+ Giả sử (1) đúng với n = k, tức là

\[{S_k} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = 1 - \frac{1}{{k + 1}}\]

Khi đó,

⇒ (1) đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ∈ N*.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 13 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài