Bài 3 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11

Bình chọn:
4.4 trên 9 phiếu

Giải bài 3 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\), ta có các bất đẳng thức:

a) \(3^n> 3n + 1\);      b) \(2^{n+1} > 2n + 3\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n=2\).

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 2\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).

Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n \in N^*\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(3^2>3.2+1\) nên bất đẳng thức đúng với \(n = 2\).

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là

\(3^k> 3k + 1\)         (1).

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là cần chứng minh: \(3^{k+1}> 3(k+1) + 1=3k+4\)

Nhân hai vế của (1) với \(3\), ta được:

\(3^{k+1} > 9k + 3 \Leftrightarrow 3^{k+1} > 3k + 4 + 6k -1\)

Vì \(k \ge 2 \Rightarrow 6k - 1 \ge 11 > 0\) nên \(3^{k+1} > 3k + 4\).

Tức là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).

Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \(3^n> 3n + 1\) đúng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).

b) Với \(n = 2\) thì vế trái bằng \(2^{2+1}=8\), vế phải bằng \(2.2+3=7\). Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = 2\)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là

\(2^{k+1} > 2k + 3\)          (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \(n= k + 1\), nghĩa là phải chứng minh

\({2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 3{\rm{ }} \Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5\)

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với \(2\), ta được:

\({2^{k + 2}} > 4k + 6 \Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1\)

Vì \(l \ge 2 \Rightarrow 2k + 1> 0\) nên \({2^{(k + 2)}}> 2k + 5\).

Tức là bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\).

Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \({2^{n+1}} > 2n + 3\) đúng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.