Bài 1 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11


Chứng minh rằng

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng với \(n \in {\mathbb N}^*\), ta có đẳng thức:

LG a

\(2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\dfrac{n(3n+1)}{2}\)

Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n=1\).

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 1\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).

Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n \in N^*\).

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\), vế trái chỉ có một số hạng là \(2\), vế phải bằng \( \dfrac{1.(3.1+1)}{2} = 2\).

Do đó hệ thức a) đúng với \(n = 1\).

Đặt vế trái bằng \(S_n\)

Giả sử đẳng thức a) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là

\(S_k=2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 \) \(=  \dfrac{k(3k+1)}{2}\)

Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là phải chứng minh

\(S_{k+1}= 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) \) \(=   \dfrac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

\(S_{k+1}= [2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1] + (3(k + 1) – 1) \)

\( = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2 \)

\( = \dfrac{{k(3k + 1)}}{2} + 3k + 2\)

\( = \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}\)

\( = \frac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2} \) \(= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2} \) \(= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 3 + 1} \right)}}{2} \) \( = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{2}\)

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)

LG b

\( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{n}}=\dfrac{2^{n}-1}{2^{n}}\)

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\), vế trái bằng \( \dfrac{1}{2}\), vế phải bằng \( \dfrac{1}{2}\), do đó hệ thức đúng với \(n=1\).

Đặt vế trái bằng \(S_n\).

Giả sử hệ thức b) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là

\( S_{k}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}\) \(=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}\)

Ta phải chứng minh \( S_{k+1}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\).

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

\( S_{k+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}} \)

\(=S_{k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\)

\(=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\) \( = \dfrac{{2\left( {{2^k} - 1} \right) + 1}}{{{2^{k + 1}}}}\) \(= \dfrac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\)

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)

LG c

\({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}\) \(= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\), vế trái bằng \(1\), vế phải bằng \( \dfrac{1(1+1)(2+1)}{6}= 1\) nên hệ thức c) đúng với \(n = 1\).

Đặt vế trái bằng \(S_n\).

Giả sử hệ thức c) đúng với \(n = k  ≥ 1\), tức là

\(S_k= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}\) \(=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)

Ta phải chứng minh \( S_{k+1}=\dfrac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 

\({S_{k + 1}}= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}+(k+1)^2 \)

\(= {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\)

\( = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}\)

\(\begin{array}{l}
= \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right) + 6{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k + 1} \right) + 6\left( {k + 1} \right)} \right]}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 2 + 1} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left[ {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{6}
\end{array}\)

(đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi  \(n \in {\mathbb N}^*\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.5 trên 55 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài