Bài 3 trang 60 SGK Hình học 11


Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung đểm của các cạnh \(AB, CD\) và \(G\) là trung điểm của đoạn \(MN\)

a) Tìm giao điểm \(A'\) của đường thẳng \(AG\) và mặt phẳng \((BCD)\)

b) Qua \(M\) kẻ đường thẳng \(Mx\) song song với \(AA'\) và \(Mx\) cắt \((BCD)\) tại \(M'\). Chứng minh \(B, M', A'\) thẳng hàng và \(BM' = M'A' = A'N\).

c) Chứng minh \(GA = 3 GA'\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Trong \((ABN)\): Gọi \(A'=AG  \cap BN\).

b) Sử dụng định lí đường trung bình của tam giác.

c) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.

Lời giải chi tiết

a) Có: \(MN \subset \left( {ABN} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Rightarrow {\rm{ }}G \in \left( {ABN} \right)}\\
{ \Rightarrow {\rm{ }}AG \subset \left( {ABN} \right).}
\end{array}\)

Trong \((ABN)\): Gọi \(A'=AG  \cap BN\)

\( \Rightarrow A' \in BN \subset (BCD)\).

\( \Rightarrow A' \in (BCD) \Rightarrow  A' = AG \cap (BCD)\)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MM'//AA'\\AA' \subset \left( {ABN} \right)\\M \in AB \subset \left( {ABN} \right)\end{array} \right. \) \(\Rightarrow MM' \subset \left( {ABN} \right)\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}M' \in \left( {ABN} \right)\\M' \in \left( {BCD} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M' \in \left( {ABN} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BN\).

Mà \(A'\) cũng thuộc \(BN\) nên \(M',A',B\) thẳng hàng (cùng nằm trên \(BN\)).

*) Xét tam giác \(NMM'\) có:

+) \(G\) là trung điểm của \(NM\).

+) \(GA'//MM'\)

\(\Rightarrow A'\) là trung điểm của \(NM'\)

Xét tam giác \(BAA'\) có:

+) \(M \) là trung điểm của \(AB\) 

+) \(MM'//AA'\)

\(\Rightarrow M'\) là trung điểm của \(BA'\)

Do đó: \(BM'=M'A'=A'N\).

c) Ta có \(\displaystyle MM'={1\over 2} AA'\)

\( \Rightarrow GA' = \frac{1}{2}MM' = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}AA' = \frac{1}{4}AA' \)

\(\Rightarrow GA = AA' - GA' \) \(= AA' - \frac{1}{4}AA' = \frac{3}{4}AA'\)

\( \Rightarrow \dfrac{{GA'}}{{GA}} = \dfrac{{\dfrac{1}{4}AA'}}{{\dfrac{3}{4}AA'}} = \dfrac{1}{3} \) \(\Rightarrow GA = 3GA'\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 45 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.