Bài 2 trang 59 SGK Hình học 11


Giải bài 2 trang 59 SGK Hình học 11. Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây.

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) và ba điểm \(P, Q, R\) lần lượt trên ba cạnh \(AB, CD, BC\). Tìm giao điểm \(S\) của \(AD\) và mặt phẳng \((PQR)\) trong hai trường hợp sau đây.

a) \(PR\) song song với \(AC\)

b) \(PR\) cắt \(AC\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lí 2 (về giao tuyến của ba mặt phẳng):

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {ADC} \right) = AC\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = PR\\\left( {ADC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = d\\AC//PR\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AC//PR//d\).

Mà \(Q \in CD \subset \left( {ADC} \right)\) và \(Q \in \left( {PRQ} \right)\) nên \(Q \in d\) hay \(d\) là đường thẳng đi qua \(Q\) và song song \(AC\).

Trong \(\left( {ADC} \right)\), qua \(Q\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AD\) tại \(S\).

Vậy \(S = AD \cap \left( {PQR} \right)\).

Cách khác:

Có thể sử dụng hệ quả sau: "Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó".

mp(PQR) và mp(ACD) lần lượt chứa hai đường thẳng song song PR // AC.

⇒ (PQR) ∩ (ACD) = Qt là đường thẳng song song với AC và PR.

Gọi Qt ∩ AD = S

⇒ S = AD ∩ (PQR).

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(PR\) với \(AC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {ADC} \right) = AC\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = PR\\\left( {ADC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = d\\AC \cap PR = \left\{ I \right\}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AC,PR,d\) đồng quy tại \(I\).

Trong \(\left( {ADC} \right)\), kéo dài \(IQ\) cắt \(AD\) tại \(S\).

Khi đó \(S \in AD\) và \(S \in \left( {PQR} \right)\) nên \(S = AD \cap \left( {PQR} \right)\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 34 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài