Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không ..

Phương trình mặt cầu trong không gian


Phương trình mặt cầu trong không gian

1. Kiến thức cần nhớ

- Dạng 1: Phương trình chính tắc của mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) là:

\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)     (1)

- Dạng 2: Phương trình tổng quát của mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)    (2)

Phương trình (2) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Do đó điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình mặt cầu là \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết các yếu tố từ phương trình mặt cầu.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tâm và bán kính mặt cầu:

- Mặt cầu có phương trình dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\).

- Mặt cầu có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu.

Phương pháp chung:

Cách 1: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng tổng quát.

- Tìm tâm và bán kính mặt cầu, từ đó viết phương trình theo dạng 1 nêu ở trên.

Cách 2: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng khai triển.

- Gọi mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)

- Sử dụng điều kiện bài cho để tìm \(a,b,c,d\).

Một số bài toán hay gặp:

- Viết phương trình mặt cầu với tâm và bán kính đã cho.

- Mặt cầu có đường kính \(AB\): tâm là trung điểm của \(AB\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

- Mặt cầu đi qua \(4\) điểm \(A,B,C,D\):

* Cách 1:

+) Gọi mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)

+) Thay tọa độ các điểm bài cho vào phương trình và tìm \(a,b,c,d\).

*Cách 2:

+) Gọi I(a,b,c) là tâm của mặt cầu.

+) Lập hệ phương trình 

\(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right.\)

tìm a, b, c.

+) Bán kính \(R=IA\).

* Cách 3:

+) Tìm mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng AB, AC, AD. Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm của AB và nhận AB làm một vectơ pháp tuyến.

+) Tâm mặt cầu là giao của 3 mặt phẳng đó.

+) Bán kính \(R=IA\).

Dạng 3: Tìm tham số để mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước.

- Mặt cầu đi qua một điểm nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình mặt cầu.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua