Bài 1 trang 91 SGK Hình học 12

Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu

Giải bài 1 trang 91 SGK Hình học 12. Cho hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm.

Đề bài

Cho hệ toạ độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A( 1 ; 0 ; 0 ), B( 0 ; 1 ; 0 ), C( 0 ; 0 ; 1 ), D( -2 ; 1 ; -1)\)

a) Chứng minh \(A, B, C, D\) là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng bằng cách viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) dạng đoạn chắn và chứng minh \(D \notin \left( {ABC} \right)\).

b) Gọi \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(AB, CD\) ta có: \(cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\).

\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\)

c) Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD bằng \(d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)\).

+) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

+) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là: \[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Lời giải chi tiết

a) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\): Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:

\((ABC)\): \({x \over 1} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\)

Thế các toạ độ của \(D\) vào vế phải của phương trình mặt phẳng \((ABC)\), ta có: \(-2 + 1 - 1 - 1 = -3 ≠ 0\)

Vậy \(D ∉ (ABC)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, suy ra A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện.

b) Gọi \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(AB, CD\) ta có:

\(cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\)

Do đó, ta tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \),\(\overrightarrow {CD} \) được tính theo công thức:

\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1,1,0)\), \(\overrightarrow {CD}  = ( - 2,1, - 2)\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}= (-1).(-2) + 1.1 + 0.(-2) = 3\)

\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}}  = \sqrt 2 \)

\(\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} = 3\)

\( \Rightarrow \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) =  45^0\) \( \Rightarrow  α = 45^0\)

c) Ta có \(\overrightarrow {BC}  = (0; - 1;1),\) \(\overrightarrow {BD}  = ( - 2;0; - 1)\)

Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của \((BCD)\) thì: 

\(\overrightarrow n_{(BCD)}  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1; -2; -2)\)

Phương trình mặt phẳng \((BCD)\):

\(1(x - 0) - 2(y - 1) - 2( z - 0) = 0\)

\( \Leftrightarrow  x - 2y - 2z + 2 = 0\)

Chiều cao của hình chóp \(A.BCD\) bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\):

\(h = d(A,(BCD)) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {(-2)^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {3 \over 3} = 1\)

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.