Bài 1 trang 91 SGK Hình học 12


Cho hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hệ toạ độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A( 1 ; 0 ; 0 ), B( 0 ; 1 ; 0 ), C( 0 ; 0 ; 1 ), D( -2 ; 1 ; -1)\)

LG a

a) Chứng minh \(A, B, C, D\) là bốn đỉnh của một tứ diện.

Phương pháp giải:

Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện tức là chứng minh 4 điểm này không đồng phẳng

Bằng cách viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) ( dạng đoạn chắn) rồi chứng minh \(D \notin \left( {ABC} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\): Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:

\((ABC)\): \({x \over 1} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \) \(\Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\)

Thế các toạ độ của \(D\) vào vế phải của phương trình mặt phẳng \((ABC)\), ta có: \(-2 + 1 - 1 - 1 = -3 ≠ 0\)

Vậy \(D ∉ (ABC)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, suy ra \(A, B, C, D\) là bốn đỉnh của 1 tứ diện.

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = ( - 1;1;0);\;\;\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 2} \right);\;\;\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right)\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} } \right].\;\overrightarrow {CD} \; = ( - 2).1 + 1.1 + ( - 2).1 = - 3
\end{array}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} ;\;\overrightarrow {CD} \;\) không đồng phẳng.

\( \Rightarrow A, B, C, D\) không đồng phẳng

\( \Rightarrow A, B, C, D\) là 4 đỉnh của hình tứ diện

LG b

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).

Phương pháp giải:

Gọi \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(AB, CD\) ta có: \(\cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\).

\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\displaystyle α\) là góc giữa hai đường thẳng \(\displaystyle AB, CD\) ta có:

\(\displaystyle \cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\)

\(\displaystyle \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) \) \(\displaystyle = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\)

Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {AB}  = ( - 1,1,0)\), \(\displaystyle \overrightarrow {CD}  = ( - 2,1, - 2)\)

\(\displaystyle \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}= (-1).(-2) + 1.1 + 0.(-2) = 3\)

\(\displaystyle \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}}  = \sqrt 2 \)

\(\displaystyle \left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} = 3\)

\(\displaystyle \Rightarrow \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \) \(\Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) =  45^0\) \(\displaystyle  \Rightarrow  α = 45^0\)

LG c

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\).

Phương pháp giải:

Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD bằng \(d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)\).

+) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

+) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là: \[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\displaystyle \overrightarrow {BC}  = (0; - 1;1),\) \(\displaystyle \overrightarrow {BD}  = ( - 2;0; - 1)\)

Gọi \(\displaystyle \overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của \(\displaystyle (BCD)\) thì: 

\(\displaystyle \overrightarrow n_{(BCD)}  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] \) \(\displaystyle = (1; -2; -2)\)

Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle (BCD)\):

\(\displaystyle 1(x - 0) - 2(y - 1) - 2( z - 0) = 0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow  x - 2y - 2z + 2 = 0\)

Chiều cao của hình chóp \(\displaystyle A.BCD\) bằng khoảng cách từ điểm \(\displaystyle A\) đến mặt phẳng \(\displaystyle (BCD)\):

\(\displaystyle h = d(A,(BCD)) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {(-2)^2} + {{( - 2)}^2}} }}\) \(\displaystyle = {3 \over 3} = 1\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 17 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.