Bài 1 trang 91 SGK Hình học 12


Giải bài 1 trang 91 SGK Hình học 12. Cho hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hệ toạ độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A( 1 ; 0 ; 0 ), B( 0 ; 1 ; 0 ), C( 0 ; 0 ; 1 ), D( -2 ; 1 ; -1)\)

LG a

a) Chứng minh \(A, B, C, D\) là bốn đỉnh của một tứ diện.

Phương pháp giải:

Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng bằng cách viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) dạng đoạn chắn và chứng minh \(D \notin \left( {ABC} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\): Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:

\((ABC)\): \({x \over 1} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \) \(\Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\)

Thế các toạ độ của \(D\) vào vế phải của phương trình mặt phẳng \((ABC)\), ta có: \(-2 + 1 - 1 - 1 = -3 ≠ 0\)

Vậy \(D ∉ (ABC)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, suy ra A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện.

Cách khác:

LG b

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).

Phương pháp giải:

Gọi \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(AB, CD\) ta có: \(\cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\).

\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\displaystyle α\) là góc giữa hai đường thẳng \(\displaystyle AB, CD\) ta có:

\(\displaystyle \cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\)

\(\displaystyle \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) \) \(\displaystyle = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\)

Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {AB}  = ( - 1,1,0)\), \(\displaystyle \overrightarrow {CD}  = ( - 2,1, - 2)\)

\(\displaystyle \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}= (-1).(-2) + 1.1 + 0.(-2) = 3\)

\(\displaystyle \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}}  = \sqrt 2 \)

\(\displaystyle \left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} = 3\)

\(\displaystyle \Rightarrow \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \) \(\Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) =  45^0\) \(\displaystyle  \Rightarrow  α = 45^0\)

LG c

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\).

Phương pháp giải:

Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD bằng \(d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)\).

+) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

+) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là: \[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\displaystyle \overrightarrow {BC}  = (0; - 1;1),\) \(\displaystyle \overrightarrow {BD}  = ( - 2;0; - 1)\)

Gọi \(\displaystyle \overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của \(\displaystyle (BCD)\) thì: 

\(\displaystyle \overrightarrow n_{(BCD)}  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] \) \(\displaystyle = (1; -2; -2)\)

Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle (BCD)\):

\(\displaystyle 1(x - 0) - 2(y - 1) - 2( z - 0) = 0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow  x - 2y - 2z + 2 = 0\)

Chiều cao của hình chóp \(\displaystyle A.BCD\) bằng khoảng cách từ điểm \(\displaystyle A\) đến mặt phẳng \(\displaystyle (BCD)\):

\(\displaystyle h = d(A,(BCD)) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {(-2)^2} + {{( - 2)}^2}} }}\) \(\displaystyle = {3 \over 3} = 1\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 7 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài