Bài 5 trang 92 SGK Hình học 12


Giải bài 5 trang 92 SGK Hình học 12. Trong hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:

Đề bài

Cho mặt cầu \((S)\) có phương trình: \({(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 100\) và mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(2x - 2y - z + 9 = 0\). Mặt phẳng \((α)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo một đường tròn \((C)\).

Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn \((C)\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

+) Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua I và vuông góc với \((\alpha)\).

+) Gọi \(K = \left( \alpha  \right) \cap d\), tìm tọa độ điểm K, K chính là tâm đường tròn (C).

+) Tính khoảng cách \(h = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)\), từ đó suy ra bán kính \(r\) của đường tròn (C): \(r = \sqrt {{R^2} - {h^2}} \).

Lời giải chi tiết

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3, -2, 1)\) và bán kính \(R = 10\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) đến mặt phẳng \((α)\) là:

\(h=d(I, α)\) = \(\left| {{{2.3 - 2.( - 2) - 1 + 9} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }}} \right| = {{18} \over 3} = 6\)

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn (C), áp dụng định lí Pitago ta có: \(r = \sqrt {{R^2} - {h^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\)

Tâm \(K\) của đường tròn \((C)\) là hình chiếu vuông góc của tâm \(I\) của mặt cầu trên mặt phẳng \((α)\).

Mặt phẳng \(((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (2, -2. -1)\).

Đường thẳng \(d\) qua \(I\) và vuông góc với \((α)\) nhận \(\overrightarrow n = (2, -2, -1)\) làm vectơ chỉ phương và có phương trình \(d\) : \(\left\{ \matrix{x = 3 + 2t \hfill \cr y = - 2 - 2t \hfill \cr z = 1 - t \hfill \cr} \right.\)

\(K \in d \Rightarrow K\left( {3 + 2t; - 2 - 2t;1 - t} \right);\,\,K \in \left( \alpha  \right)\) nên thay tọa độ điểm K vào phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) ta có: 

\(2.(3+2t)-2.(-2-2t)-(1-t)+9=0\Rightarrow t=-2\)

\( \Rightarrow K\left( { - 1;2;3} \right)\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.5 trên 13 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài