Bài 8 trang 93 SGK Hình học 12

Bình chọn:
3.4 trên 7 phiếu

Giải bài 8 trang 93 SGK Hình học 12. Trong hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu

Đề bài

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu

(S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 2y + 26z + 170 = 0\)

và song song với hai đường thẳng

\(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = - 5 + 2t\\
y = 1 - 3t\\
z = - 13 + 2t
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = - 7 + 3t'\\
y = - 1 - 2t'\\
z = 8
\end{array} \right.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Gọi \(\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} \) lần lượt là VTCP của hai đường thẳng d và d'. Khi đó mặt phẳng \((\alpha)\) nhận \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right]\) là 1 VTPT.

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S), mặt phẳng \((\alpha)\) tiếp xúc với mặt cầu (S) \( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = R\)

Lời giải chi tiết

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (2; -3; 2)\)

                    \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'}  = (3; -2; 0)\)

Mặt phẳng \((α)\) song song với \(d\) và \(d'\) nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] =(4;6;5)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng: \(4x + 6y + 5z + D = 0\)

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(5; -1; -13)\) và bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 13} \right)}^2} - 170}  = \sqrt {25}  = 5\).

Để \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\), ta phải có:

\(d(I, (α)) = R  \Leftrightarrow {{\left| {4.5 + 6( - 1) + 5( - 13) + D} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {6^2} + {5^2}} }} = 5\)

                     \( \Leftrightarrow \left| {D - 51} \right| = 5\sqrt {77} \)

Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:

+) \(D - 51 = 5\sqrt{77}\) \( \Rightarrow ({\alpha _1}):4x + 6y + 5z + 51 + 5\sqrt {77}  = 0\)

+) \(D - 51 = -5\sqrt{77}\) \( \Rightarrow ({\alpha _2}):4x + 6y + 5z + 51 - 5\sqrt {77}  = 0\)

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.