Bài 8 trang 93 SGK Hình học 12


Trong hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu

Đề bài

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu

(S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 2y + 26z + 170 = 0\)

và song song với hai đường thẳng

\(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = - 5 + 2t\\
y = 1 - 3t\\
z = - 13 + 2t
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = - 7 + 3t'\\
y = - 1 - 2t'\\
z = 8
\end{array} \right.\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Gọi \(\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} \) lần lượt là VTCP của hai đường thẳng d và d'. Khi đó mặt phẳng \((\alpha)\) nhận \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right]\) là 1 VTPT.

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S), mặt phẳng \((\alpha)\) tiếp xúc với mặt cầu (S) \( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = R\)

Lời giải chi tiết

Đường thẳng \(\displaystyle d\) có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow a = (2; -3; 2)\)

\(\displaystyle d'\) có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow {a'}  = (3; -2; 0)\)

Mặt phẳng \(\displaystyle (α)\) song song với \(\displaystyle d\) và \(\displaystyle d'\) nhận vectơ \(\displaystyle \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] =(4;6;5)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle (α)\) có dạng: \(\displaystyle 4x + 6y + 5z + D = 0\)

Mặt cầu \(\displaystyle (S)\) có tâm \(\displaystyle I(5; -1; -13)\) và bán kính \(\displaystyle R = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 13} \right)}^2} - 170}  = \sqrt {25}  = 5\).

Để \(\displaystyle (α)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\displaystyle (S)\), ta phải có:

\(\displaystyle d(I, (α)) = R  \) \(\displaystyle \Leftrightarrow {{\left| {4.5 + 6( - 1) + 5( - 13) + D} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {6^2} + {5^2}} }} = 5\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left| {D - 51} \right| = 5\sqrt {77} \)

Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:

+) \(\displaystyle D - 51 = 5\sqrt{77}\) \(\displaystyle  \Rightarrow ({\alpha _1}):4x + 6y + 5z + 51 + 5\sqrt {77}  = 0\)

+) \(\displaystyle D - 51 = -5\sqrt{77}\) \(\displaystyle  \Rightarrow ({\alpha _2}):4x + 6y + 5z + 51 - 5\sqrt {77}  = 0\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 12 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí