Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không ..

Bài 8 trang 93 SGK Hình học 12


Trong hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu

Đề bài

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu

(S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 2y + 26z + 170 = 0\)

và song song với hai đường thẳng

\(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = - 5 + 2t\\
y = 1 - 3t\\
z = - 13 + 2t
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = - 7 + 3t'\\
y = - 1 - 2t'\\
z = 8
\end{array} \right.\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Gọi \(\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} \) lần lượt là VTCP của hai đường thẳng d và d'. Khi đó mặt phẳng \((\alpha)\) nhận \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right]\) là 1 VTPT.

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S), mặt phẳng \((\alpha)\) tiếp xúc với mặt cầu (S) \( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = R\)

Lời giải chi tiết

Đường thẳng \(\displaystyle d\) có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow a = (2; -3; 2)\)

\(\displaystyle d'\) có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow {a'}  = (3; -2; 0)\)

Mặt phẳng \(\displaystyle (α)\) song song với \(\displaystyle d\) và \(\displaystyle d'\) nhận vectơ \(\displaystyle \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] =(4;6;5)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle (α)\) có dạng: \(\displaystyle 4x + 6y + 5z + D = 0\)

Mặt cầu \(\displaystyle (S)\) có tâm \(\displaystyle I(5; -1; -13)\) và bán kính \(\displaystyle R = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 13} \right)}^2} - 170}  = \sqrt {25}  = 5\).

Để \(\displaystyle (α)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\displaystyle (S)\), ta phải có:

\(\displaystyle d(I, (α)) = R  \) \(\displaystyle \Leftrightarrow {{\left| {4.5 + 6( - 1) + 5( - 13) + D} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {6^2} + {5^2}} }} = 5\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left| {D - 51} \right| = 5\sqrt {77} \)

Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:

+) \(\displaystyle D - 51 = 5\sqrt{77}\) \(\displaystyle  \Rightarrow ({\alpha _1}):4x + 6y + 5z + 51 + 5\sqrt {77}  = 0\)

+) \(\displaystyle D - 51 = -5\sqrt{77}\) \(\displaystyle  \Rightarrow ({\alpha _2}):4x + 6y + 5z + 51 - 5\sqrt {77}  = 0\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 12 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store