Bài 3 trang 92 SGK Hình học 12


Trong hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(-2 ; 6 ; 3), B(1 ; 0 ; 6), C(0; 2 ; -1), D(1 ; 4 ; 0).

Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 12 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A(-2 ; 6 ; 3), B(1 ; 0 ; 6), C(0; 2 ; -1), D(1 ; 4 ; 0)\)

LG a

a) Viết phương trình mặt phẳng \((BCD)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B\) và nhận \(\overrightarrow a  = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]\) là 1 VTPT. Chứng minh ABCD là tứ diện bằng cách chứng minh \(A \notin \left( {BCD} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = (-1; 2; -7)\),  \(\overrightarrow {BD}= (0; 4; -6)\)

Xét vectơ \(\overrightarrow a  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]\)    \( \Rightarrow \overrightarrow a  = (16; - 6; - 4) = 2(8; - 3; - 2)\)

Mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B\) và nhận \(\overrightarrow {a'}  = (8; -3; -2)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

\(8(x - 1) -3y - 2(z - 6) = 0\) \( \Leftrightarrow  8x - 3y - 2z + 4 = 0\)

Thay toạ độ của \(A\) vào phương trình của \((BC)\) ta có:

\(8.(-2) - 3.6 - 2.3 + 4 = -36 ≠ 0\)

Điều này chứng tỏ điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \((BCD)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, và \(ABCD\) là một tứ diện.

Quảng cáo
decumar

LG b

b) Tính chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\)

Phương pháp giải:

\(AH = d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Chiều cao \(AH\) của tứ diện chính là khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\):

\(AH = d(A,(BCD))\) = \({{\left| {8.( - 2) - 3.6 - 2.3 + 4} \right|} \over {\sqrt {{8^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {{36} \over {\sqrt {77} }}\)

LG c

c) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\).

Phương pháp giải:

\({\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]\) là 1 VTPT của mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\alpha)\) đi qua A.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (3; - 6; 3)\), \(\overrightarrow {CD}  = ( 1; 2; 1)\)

Mặt phẳng \((α)\) chứa \(AB\) và \(CD\) chính là mặt phẳng đi qua \(A(-2; 6; 3)\) và nhận cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CD} \) làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 6;3} \right);\,\,\overrightarrow {CD}  = \left( {1;2;1} \right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow n \) = \((-12; 0; 12) = -12(1; 0; -1)\)

Vậy phương trình của \((α)\) là:

\(1(x + 2) + 0(y - 6) - 1(z - 3) = 0 \)\( \Leftrightarrow x - z + 5 = 0\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 15 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.