Bài 3.26 trang 156 SBT hình học 10


Giải bài 3.26 trang 156 sách bài tập hình học 10. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) có phương trình...

Đề bài

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0\) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua gốc tọa độ \(O\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nhận xét: Gốc tọa độ \(O\) thuộc đường tròn nên tiếp tuyến đi qua \(O\) và nhận \(\overrightarrow {OI} \) làm VTPT.

Lời giải chi tiết

Đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0\) có tâm \(I(4;3)\) và bán kính \(R = 5\).

Cách 1: Do tọa độ \(O(0;0)\) thỏa mãn phương trình của \(\left( C \right)\) nên điểm \(O\) nằm trên \(\left( C \right)\).

Tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(O\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {OI}  = (4;3)\).

Suy ra \(\Delta \) có phương trình \(4x + 3y = 0.\)

Cách 2: Xét đường thẳng \(\Delta \) đi qua gốc tọa độ \(O \) và có hệ số góc \(k\), \(\Delta \) có phương trình \(y - kx = 0\).

Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\)\( \Leftrightarrow d(I,\Delta ) = R\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3 - 4k} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 5\)\( \Leftrightarrow {\left( {3 - 4k} \right)^2} = 25({k^2} + 1)\)

\( \Leftrightarrow 9 + 16{k^2} - 24k = 25{k^2} + 25\)\( \Leftrightarrow 9{k^2} + 24k + 16 = 0\)\( \Leftrightarrow k =  - \dfrac{4}{3}.\)

Vậy ta được phương trình tiếp tuyến là: \(y + \dfrac{4}{3}x = 0\) hay \(4x + 3y = 0\).

Trường hợp \(\Delta \) không có hệ số góc \(\left( {\Delta  \bot Ox} \right)\) có phương trình dạng \(x + c = 0\).

\(O\left( {0;0} \right) \in \Delta \) \( \Rightarrow 0 + c = 0 \Leftrightarrow c = 0\) ta được đường thẳng \(x = 0\).

Dễ thấy \(d\left( {I,\Delta } \right) = 4 \ne 5 = R\) nên \(\Delta \) không tiếp xúc với \(\left( C \right)\).

Vậy trường này không thỏa mãn nên chí có duy nhất một tiếp tuyến cần tìm là \(4x + 3y = 0\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Phương trình đường tròn

>> Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài