Bài 3.25 trang 156 SBT hình học 10


Giải bài 3.25 trang 156 sách bài tập hình học 10. Cho đường tròn (C)...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho đường tròn \(\left( C \right)\): \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 9\) và điểm \(M(2; - 1)\).

LG a

Chứng tỏ rằng qua \(M\) ta vẽ được hai tiếp tuyến \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) với \(\left( C \right)\), hãy viết phương trình của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua \(M\) trong hai trường hợp \(\Delta \) có hệ số góc và không có hệ số góc.

Chú ý: Đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) \( \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\).

Lời giải chi tiết:

\(\left( C \right)\) có tâm \(I(-1;2)\) và có bán kính \(R = 3\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \( M(2;-1) \) và có hệ số góc \(k\) có phương trình:

\(y + 1 = k\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow kx - y - 2k - 1 = 0\)

Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\)\( \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - k - 2 - 2k - 1} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 3\)

\( \Leftrightarrow \left| {k + 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \) \( \Leftrightarrow {k^2} + 2k + 1 = {k^2} + 1\)\( \Leftrightarrow k = 0.\)

Vậy ta được tiếp tuyến \({\Delta _1}:y + 1 = 0.\)

Xét đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua \(M(2;-1)\) và vuông góc với Ox, \({\Delta _2}\) có phương trình \(x - 2 = 0\).

Ta có \(d\left( {I;{\Delta _2}} \right) = \left| { - 1 - 2} \right| = 3 = R\).

Suy ra \({\Delta _2}\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\).

Vậy qua điểm \(M\) ta vẽ được hai tiếp tuyến với \(\left( C \right)\), đó là: \({\Delta _1}:y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 2 = 0\).

LG b

Gọi \({M_1}\) và \({M_2}\) lần lượt là hai tiếp điểm của  \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) với \(\left( C \right)\), hãy viết phương trình của đường thẳng \(d\) đi qua \({M_1}\) và \({M_2}\).

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ hai tiếp điểm, từ đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.

Lời giải chi tiết:

Gọi \({M_1}\) là tiếp điểm của \({\Delta _1}\) và \(\left( C \right)\). Khi đó tọa độ của \({M_1}\) thỏa mãn:

\(\left\{ \begin{array}{l}y + 1 = 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\{\left( {x + 1} \right)^2} + 9 = 9\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Do đó \({M_1}\left( { - 1; - 1} \right)\).

Gọi \({M_2}\) là tiếp điểm của \({\Delta _2}\) và \(\left( C \right)\). Khi đó tọa độ của \({M_2}\) thỏa mãn:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\9 + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\{\left( {y - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\)

Do đó \({M_2}\left( {2;2} \right)\).

\({\Delta _1}\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại \({M_1}\left( { - 1; - 1} \right)\);

\({\Delta _2}\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại \({M_2}\left( {2;2} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {3;2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{{M_1}{M_2}}}}  = \left( {1; - 1} \right)\) là VTCP của \({M_1}{M_2}\).

Đường thẳng \({M_1}{M_2}\) đi qua \({M_1}\left( { - 1; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{{M_1}{M_2}}}}  = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT.

\( \Rightarrow {M_1}{M_2}:1\left( {x + 1} \right) - 1\left( {y + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - y = 0\).

Phương trình của đường thẳng \(d\) đi qua \({M_1}\) và \({M_2}\) là: \(x - y = 0\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 6 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Phương trình đường tròn

>> Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài