Bài 7 trang 126 SGK Hình học 11


Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, có AD = 2a, AB = BC = a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy một điểm S.

Đề bài

Cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B\), có \(AD = 2a, AB = BC = a\). Trên tia \(Ax\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) lấy một điểm \(S\). Gọi \(C',D'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SC\) và \(SD\) . Chứng minh rằng :

a) \(\widehat {SBC} = \widehat {SC{\rm{D}}} = {90^0}\)

b) \(AD’,  AC’\) và \(AB\) cùng nằm trên một mặt phẳng.

c) Chứng minh rằng đường thẳng \(C’D’\) luôn luôn đi qua một điểm cố định khi \(S\) di động trên tia Ax.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right);\,\,CD \bot \left( {SCD} \right)\).

b) Chứng minh cả ba đường thẳng \(AB;AC';AD'\) cùng vuông góc với \(SD\), từ đó kết luận chúng cùng thuộc mặt phẳng đi qua A và vuông góc với \(SD\).

c) Chứng minh ba đường thẳng CD, AB, C'D' đồng quy dựa vào tính chất: Giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt thì đồng quy hoặc đôi một song song.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)

\(\left. \matrix{SA \bot BC \hfill \cr AB \bot BC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SB \bot BC\) (định lí 3 đường vuông góc) \( \Rightarrow \widehat {SBC} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\).

Tứ giác \(ABCM\) có \(AB//=CM\) nên là hình bình hành.

Lại có \(\widehat A = {90^0},AB = CB\) nên \(ABCM\) là hình vuông

\(\Rightarrow CM = a  \Rightarrow CM = {1 \over 2}A{\rm{D}}\) 

Tam giác \(ACD\) có trung tuyến \(CM\) bằng \({1 \over 2}\) cạnh tương ứng nên nó là tam giác vuông, hay tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\) có \(AC ⊥ CD\)

\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\)

\(\left. \matrix{
SA \bot CD \hfill \cr
AC \bot C{\rm{D}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SC \bot C{\rm{D}}\) (định lí 3 đường vuông góc)

\(\Rightarrow \widehat {SC{\rm{D}}} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta SCD\) vuông tại \(C\).

b) Ta có :

\(\left. \matrix{
AB \bot SA \hfill \cr
AB \bot A{\rm{D}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{
AB \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right) \hfill \cr
S{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AB \bot S{\rm{D}}\,\,\,\,\,(1)\)

\(\left. \matrix{
C{\rm{D}} \bot AC \hfill \cr
C{\rm{D}} \bot SC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{
C{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right) \hfill \cr
AC' \subset \left( {SAC} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AC' \bot C{\rm{D}}\)

Kết hợp với \( AC’ ⊥ SC\) suy ra \(AC'\bot (SCD)\)

\(\left. \matrix{AC' \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr S{\rm{D}} \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AC' \bot S{\rm{D\,\,\,\,\,(2)}}\)

Giả thiết cho \(AD’ ⊥ SD\)    (3)

Từ (1), (2), (3) ta thấy ba đường thẳng \(AB, AD’, AC’\) cùng vuông góc với \(SD\) và chúng cùng đi qua \(A\).

Vậy chúng cùng nằm trong mặt phẳng \(( P)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(SD\).

c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(C’D’\) với \(AB\).

\(K ∈ C’D’ ⇒ K ∈ (SCD)\)

\(K  ∈ AB ⇒ K ∈ (ABCD)\)

\(⇒ K\) là giao điểm của hai mặt phẳng \((SCD)\) và \((ABCD)\)

Mà \(\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\)\(\Rightarrow K \in CD\).

Vậy ba đường thẳng \(AB, CD, C’D’\) đồng quy tại \(K\) và \(AB, CD\) cố định suy ra \(K\) cố định.

Vậy khi \(S\) chạy trên \(Ax\) thì \(C’D’\) luôn đi qua điểm cố định là giao điểm \(K\) của \(AB\) và \(CD\).

loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 8 phiếu
  • Bài 6 trang 126 SGK Hình học 11

    Giải bài 6 trang 126 SGK Hình học 11. a) Hãy xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau BD' và B'C.

  • Bài 5 trang 126 SGK Hình học 11

    Giải bài 5 trang 126 SGK Hình học 11. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và Đ'.

  • Bài 4 trang 126 SGK Hình học 11

    Giải bài 4 trang 126 SGK Hình học 11. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có E, F, M và N lần lượt là trung điểm của AC, BD, AC’ và BD’. Chứng minh MN = EF.

  • Bài 3 trang 126 SGK Hình học 11

    Giải bài 3 trang 126 SGK Hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn.

  • Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11

    a) Tìm phép vị tự F biến A, B, C tương ứng thành A', B',C'

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí