Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11

Bình chọn:
3.2 trên 6 phiếu

Giải bài 2 trang 125 SGK Hình học 11. a) Tìm phép vị tự F biến A, B, C tương ứng thành A', B',C'

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Gọi \(G\) và \(H\) tương ứng là trọng tâm và trực tâm của tam giác, các điểm \(A',B',C'\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, CA, AB\).

a) Tìm phép vị tự \(F\) biến \(A, B, C\) tương ứng thành \(A',B',C'\)

b) Chứng minh rằng \(O, G, H\) thẳng hàng.

c) Tìm ảnh của \(O\) qua phép vị tự \(F\)

d) Gọi \(A”, B”, C”\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AH, BH, CH\); \(A_1, B_1, C_1\) theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các tia \(AH, BH, CH\) với đường tròn \((O)\); \(A_1',B_1',C_1'\) tương ứng là chân các đường cao đi qua \(A, B, C\). Tìm ảnh của \(A, B, C\), \(A_1, B_1, C_1\) qua phép vị tự tâm \(H\) tỉ số \({1 \over 2}\)

e) Chứng minh chín điểm \(A',B',C'\),\(A”, B”, C”\),\(A_1',B_1',C_1'\)cùng thuộc một đường tròn (đường tròn này gọi là đường tròn Ơ-le của tam giác \(ABC\))

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Dựa vào định nghĩa phép vị tự và tính chất trọng tâm của tam giác.

b) Chứng minh hai vectơ \(\overrightarrow {GO} ;\,\,\overrightarrow {GH} \) cùng phương.

c) Dựa vào định nghĩa phép vị tự.

d) Sử dụng tính chất của phép vị tự: Ảnh của đường tròn qua phép vị tự là 1 đường tròn.

Lời giải chi tiết

a) Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GA'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GA} ; \cr
& \overrightarrow {GB'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GB} ; \cr
& \overrightarrow {GC'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GC} \cr}\).

Vậy phép vị tự tâm \(G\) tỉ số \(k =  - {1 \over 2}\) biến \(A, B, C\) thành \(A’, B’, C’\).

b) \(A’\) là trung điểm của dây \(BC\) nên \(OA’ ⊥ BC\)

Ta lại có \(BC // C’B’ \Rightarrow OA’ ⊥ B’C’ \)

\(⇒\) Trong tam giác \(A’B’C’\) thì \(OA’\) là đường cao kẻ từ đỉnh \(A’\). Tương tự, \(OB’\) là đường cáo kẻ từ \(B’\), suy ra \(O\) là trực tâm của \(∆A’B’C’\).

\(H\) là trực tâm của \(∆ABC\) và \(O\) là trực tâm của \(∆A’B’C’\) nên \(O\) là ảnh của \(H\) trong phép vị tự tâm \(G\), tỉ số \(k =  - {1 \over 2} \Rightarrow \overrightarrow {GO}  =  - {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \) 

\(⇒\) Ba điểm \(O, G, H\) thẳng hàng.

c) Gọi \(O’\) là ảnh của \(O\) trong phép vị tự \({F_{\left( {G; - {1 \over 2}} \right)}}\) ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GO'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GO} \cr
& \overrightarrow {GO} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GH}  \Rightarrow {OG} = {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \cr
& \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GO'} = {1 \over 2}\overrightarrow {GH} - {1 \over 2}\overrightarrow {GO} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {OO'} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {GH} - \overrightarrow {GO} } \right) \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {OO'} = {1 \over 2}\overrightarrow {OH} \cr} \) 

Đẳng thức này chứng tỏ điểm \(O’\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OH\).

d) Gọi A'', B'', C'' lần lượt là trung điểm của AH, BH, CH ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {HA''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HA} \cr
& \overrightarrow {HB''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HB} \cr
& \overrightarrow {HC''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HC} \cr} \) 

Vậy \(A”, B”, C”\) là ảnh của các điểm \(A, B, C\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\).

Ta dễ dàng chứng minh được \(A_1',B_1',C_1'\) theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \(H{A_1},H{B_1},H{C_1}\) nên:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {H{A_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{A_1}} \cr
& \overrightarrow {H{B_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{B_1}} \cr
& \overrightarrow {H{C_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{C_1}} \cr} \) 

Như vậy \(A_1',B_1',C_1'\) theo thứ tự là ảnh của các điểm \(A_1, B_1, C_1\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\)

e) Gọi \(A_2, B_2, C_2\) theo thứ tự là các điểm xuyên tâm đối của các điểm \(A, B, C\) qua tâm \(O\) của đường tròn. Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác \(BHCA_2\) là hình bình hành, do đó \(H\) và \(A_2\) đối xứng qua \(A’\), ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {HA'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{A_2}} \cr
& \overrightarrow {HB'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{B_2}} \cr
& \overrightarrow {HC'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{C_2}} \cr} \)

Như vậy, các điểm \(A’, B’, C’\) theo thứ tự là ảnh của các điểm \(A_2, B_2, C_2\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\).

Từ đó ta có: 

Chín điểm \(A’, B’,C’,A”, B”,C”\), \(A_1',B_1',C_1'\) theo thứ tự là ảnh của các điểm \(A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\) trong phép tự vị \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\) mà chín điểm \(A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\) nằm trên đường tròn \((O)\) nên chín điểm \(A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\) nằm trên đường tròn ảnh của đường tròn \((O)\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\)

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

Các bài liên quan: - ÔN TẬP CUỐI NĂM HÌNH HỌC - TOÁN 11

>>Học trực tuyến các môn lớp 11, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu