Bài 6 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11

Bình chọn:
4.6 trên 16 phiếu

Giải bài 6 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11. Chứng minh rằng:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng:

LG a

\(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\)

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Phân tích \({11^{10}} = {\left( {1 + 10} \right)^{10}}\).

Lời giải chi tiết:

\({11^{10}} - 1 = {\left( {1 + 10} \right)^{10}} - 1 = (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2}\) \(+ ... + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}) - 1\) \(= {\rm{ }}{10^2} + {\rm{ }}{C^2}_{10}{10^2} +  \ldots  + {\rm{ }}{C^9}_{10}{10^9} + {\rm{ }}{10^{10}}\)

Tổng sau cùng chia hết cho \(10^2=100\) suy ra \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\).

LG b

\(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\)

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Phân tích \({101^{100}} = {\left( {1 + 100} \right)^{100}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\({101^{100}}-1{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}100} \right)^{100}} - {\rm{ }}1\)

\(= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + ... \) \(+C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) - 1\)

\( = {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + ... + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}}\)

Tổng sau cùng chia hết cho \(100^2=10 000\) nên \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\).

LG c

\(\sqrt{10}[{(1 + \sqrt{10})}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Khai triển \({\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^{100}}\) và \({\left( {1 - \sqrt {10} } \right)^{100}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({(1 + \sqrt {10} )^{100}} = 1 + C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} + ... \)

\(+ C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)

\({(1 - \sqrt {10} )^{100}} = 1 - C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ... \)

\(- C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)

\(\sqrt {10} \left[ {{{\left( {1 + \sqrt {10} } \right)}^{100}} - {{\left( {1 - \sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right]\)=

\( 2\sqrt {10} .\left[ {C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^3{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^3} + ..+ C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}}} \right]\)

\(= 2\left( {C_{100}^1.10 + C_{100}^3{{.10}^2} + ... + C_{100}^{99}{{.10}^{50}}} \right)\)

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra \(\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên.

 Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Bài 3. Nhị thức Niu - Tơn

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng