Bài 2 trang 59 SGK Hình học 11

Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây.

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) và ba điểm \(P, Q, R\) lần lượt trên ba cạnh \(AB, CD, BC\). Tìm giao điểm \(S\) của \(AD\) và mặt phẳng \((PQR)\) trong hai trường hợp sau đây.

a) \(PR\) song song với \(AC\)

b) \(PR\) cắt \(AC\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lí 2 (về giao tuyến của ba mặt phẳng):

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {ADC} \right) = AC\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = PR\\\left( {ADC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = d\\AC//PR\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AC//PR//d\).

Mà \(Q \in CD \subset \left( {ADC} \right)\) và \(Q \in \left( {PRQ} \right)\) nên \(Q \in d\) hay \(d\) là đường thẳng đi qua \(Q\) và song song \(AC\).

Trong \(\left( {ADC} \right)\), qua \(Q\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AD\) tại \(S\).

Vậy \(S = AD \cap \left( {PQR} \right)\).

Cách khác:

Có thể sử dụng hệ quả sau: "Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó".

mp \((PQR)\) và mp \((ACD)\) lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(PR // AC\).

\( \Rightarrow \left( {PQR} \right) \cap \left( {ACD} \right) = Qt\) là đường thẳng song song với \(AC\) và \(PR\).

Gọi \(Qt \cap AD = S\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}S = AD \cap \left( {PQR} \right).\).

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(PR\) với \(AC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {ADC} \right) = AC\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = PR\\\left( {ADC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = d\\AC \cap PR = \left\{ I \right\}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AC,PR,d\) đồng quy tại \(I\).

Trong \(\left( {ADC} \right)\), kéo dài \(IQ\) cắt \(AD\) tại \(S\).

Khi đó \(S \in AD\) và \(S \in \left( {PQR} \right)\) nên \(S = AD \cap \left( {PQR} \right)\).

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.4 trên 67 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 3 trang 60 SGK Hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung đểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN
Bài 1 trang 59 SGK Hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì
Câu hỏi 3 trang 57 SGK Hình học 11
Cho hai mặt phẳng α và β. Một mặt phẳng λ cắt α và β lần lượt theo các giao tuyến a và b...
Câu hỏi 2 trang 56 SGK Hình học 11
Cho tứ diện ABCD, chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau...
Câu hỏi 1 trang 55 SGK Hình học 11
Quan sát các cạnh tường trong lớp học và xem cạnh tường là hình ảnh của đường thẳng....
Lý thuyết vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng
Trường hợp I: Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng ( gọi là hai đường thẳng đồng phẳng)
Lý thuyết tính chất hai đường thẳng song song
Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường tằng đã cho