Lý thuyết Đạo hàm cấp hai

1. Định nghĩa

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)$ .

+) Nếu hàm số $f'\left( x \right)$ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số $f\left( x \right)$ , kí hiệu là $f''\left( x \right)$ .

+) Đạo hàm cấp $n\left( {n \in N,n \ge 2} \right)$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ là đạo hàm của hàm số ${f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)$ .

Kí hiệu: ${f^{\left( n \right)}}\left( x \right)$ hay ${y^{\left( n \right)}}$ :

Tức là ${f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)} \right]'$

Đặc biệt: ${f^{(0)}}\left( x \right)= f\left( x \right)$

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: $S = s\left( t \right)$ .

Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm ${t_0}$ là: $v\left( {{t_0}} \right) = S'\left( {{t_0}} \right)$

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm ${t_0}$ là: $a\left( {{t_0}} \right) = S''\left( {{t_0}} \right)$

3. Đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản

+) ${\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)$

+) ${\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)$

+) Nếu $n \le m$ thì $\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)} =m\left( {m - 1} \right)...\left( {m - n + 1} \right).{x^{m - n}}$

+) Nếu $n>m$ thì ${\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)}} =0$ .

$\begin{array}{l} + )y = \sin \left( {ax + b} \right)\\ \Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = {a^n}\sin \left( {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right)\\ + )y = \cos \left( {ax + b} \right)\\ \Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = {a^n}\cos \left( {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right)\\ + )y = \frac{1}{{ax + b}}\\ \Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!.{a^n}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\\ + )y = \sqrt[m]{{ax + b}}\\ \Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = \frac{1}{m}.\left( {\frac{1}{m} - 1} \right)...\left( {\frac{1}{m} - n + 1} \right).{a^n}.{\left( {ax + b} \right)^{\frac{1}{m} - n}} \end{array}$

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.2 trên 12 phiếu

Bài tiếp theo

Câu hỏi 1 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11
Tính y’ và đạo hàm của y’, biết:...
Câu hỏi 2 trang 173 SGK Đại số và Giải tích 11
Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình...
Câu hỏi 3 trang 173 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải câu hỏi 3 trang 173 SGK Đại số và Giải tích 11. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do...
Bài 1 trang 174 SGK Đại số và Giải tích 11
a) Cho f(x) =
Bài 2 trang 174 SGK Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.