Lý thuyết Đạo hàm cấp hai

1. Định nghĩa

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)$.

+) Nếu hàm số $f'\left( x \right)$ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số $f\left( x \right)$, kí hiệu là $f''\left( x \right)$.

+) Đạo hàm cấp $n\left( {n \in N,n \ge 2} \right)$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ là đạo hàm của hàm số ${f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)$.

Kí hiệu: ${f^{\left( n \right)}}\left( x \right)$ hay ${y^{\left( n \right)}}$:

Tức là ${f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)} \right]'$

Đặc biệt: ${f^{(0)}}\left( x \right)= f\left( x \right)$

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: $S = s\left( t \right)$.

Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm ${t_0}$ là: $v\left( {{t_0}} \right) = S'\left( {{t_0}} \right)$

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm ${t_0}$ là: $a\left( {{t_0}} \right) = S''\left( {{t_0}} \right)$

3. Đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản

+) ${\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)$

+) ${\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)$

+) Nếu $n \le m$ thì $\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)} =m\left( {m - 1} \right)...\left( {m - n + 1} \right).{x^{m - n}}$

+) Nếu $n>m$ thì ${\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)}} =0$.

$\begin{array}{l}
+ )y = \sin \left( {ax + b} \right)\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = {a^n}\sin \left( {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right)\\
+ )y = \cos \left( {ax + b} \right)\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = {a^n}\cos \left( {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right)\\
+ )y = \frac{1}{{ax + b}}\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!.{a^n}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\\
+ )y = \sqrt[m]{{ax + b}}\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = \frac{1}{m}.\left( {\frac{1}{m} - 1} \right)...\left( {\frac{1}{m} - n + 1} \right).{a^n}.{\left( {ax + b} \right)^{\frac{1}{m} - n}}
\end{array}$