Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài tập ôn tập chương 4: Giới hạn

Bài 4.61 trang 175 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 4.61 trang 175 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm...

Đề bài

Giả sử hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] và \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\) Chứng minh rằng phương trình \(f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).

Lời giải chi tiết

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\)

Ta có

\(\eqalign{
& g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - f\left( {0 + {1 \over 2}} \right) \cr 
& = f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right) \cr 
& g\left( {{1 \over 2}} \right) = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( {{1 \over 2} + {1 \over 2}} \right) \cr 
& = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 1 \right) \cr 
& = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 0 \right) \cr} \)

(vì theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\)).

Do đó,

\(\eqalign{
& g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) \cr &= \left[ {f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right)} \right]\left[ {f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 0 \right)} \right] \cr 
& = - {\left[ {f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right)} \right]^2} \le 0. \cr}\)

- Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) = 0\) thì x = 0 hay \(x = {1 \over 2}\) là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\)

- Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) < 0\)   (1)

Vì \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\)

Kết luận : Phương trình \(g\left( x \right) = 0\) hay \(f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store