Bài 4.52 trang 173 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 4.52 trang 173 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất...

Đề bài

Từ độ cao 63m của tháp nghiêng PISA ở Italia (H.5) người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng \({1 \over {10}}\) độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó.

Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính độ dài hành trình của quả bóng đến từng thời điểm chạm đất rồi suy ra tổng.

Lời giải chi tiết

Mỗi khi chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng \({1 \over {10}}\) độ cao của lần rơi ngay trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai này. Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thời điểm rơi ban đầu đến:

-   thời điểm chạm đất lần thứ nhất là \({d_1} = 63\) ;

-   thời điểm chạm đất lần thứ hai là \({d_2} = 63 + 2.{{63} \over {10}}\) ;

-   thời điểm chạm đất lần thứ ba là \({d_3} = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}}\) ;

-   thời điểm chạm đất lần thứ tư là \({d_4} = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + 2.{{63} \over {{{10}^3}}}\) ;

-   thời điểm chạm đất lần thứ n (n > 1)  là

\({d_n} = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}}\) 

(Có thể chứng minh khẳng định này bằng quy nạp).

Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thời điểm rơi ban đầu đến khi nằm yên trên mặt đất là :

\(d = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}} + ...\) (mét).

Vì \(2.{{63} \over {10}},2.{{63} \over {{{10}^2}}},...,2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}},...\) là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội \(q = {1 \over {10}}\) nên ta có \(2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}} + ... = {{2.{{63} \over {10}}} \over {1 - {1 \over {10}}}} = 14\)

Vậy, \(d = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}} + ... = 63 + 14 = 77\) (mét).

 Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài