Bài 3.33 trang 164 SBT hình học 10


Giải bài 3.33 trang 164 sách bài tập hình học 10. Viết phương trình chính tắc của elip (E)...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\) có hai tiêu điểm \({F_1}\) và \({F_2}\) biết

LG a

(E) đi qua hai điểm \(M\left( {4;\dfrac{9}{5}} \right)\) và \(N\left( {3;\dfrac{{12}}{5}} \right)\);

Phương pháp giải:

- Gọi phương trình elip \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

- Thay tọa độ các điểm \(M,N\) vào \(\left( E \right)\), lập hệ phương trình ẩn \(a,b\).

- Giải hệ và kết luận.

Lời giải chi tiết:

 Xét elip (E) : \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

(E) đi qua \(M\left( {4;\dfrac{9}{5}} \right)\)và \(N\left( {3;\dfrac{{12}}{5}} \right)\) nên thay tọa độ của M và vào phương trình của (E) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{16}}{{{a^2}}} + \dfrac{{81}}{{25{b^2}}} = 1\\\dfrac{9}{{{a^2}}} + \dfrac{{144}}{{25{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9.\end{array} \right.\)

Vậy phương trình của (E) là : \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).

LG b

 (E) đi qua \(M\left( {\dfrac{3}{{\sqrt 5 }};\dfrac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại \(M\).

Phương pháp giải:

 - Gọi phương trình elip \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

- Sử dụng chú ý \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0}\) \( \Leftrightarrow OM = O{F_1} = O{F_2} = c\) tìm \(c\).

Lời giải chi tiết:

Xét elip (E) : \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Vì \(M\left( {\dfrac{3}{{\sqrt 5 }};\dfrac{4}{{\sqrt 5 }}} \right) \in (E)\) nên \(\dfrac{9}{{5{a^2}}} + \dfrac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\).  (1)

Ta có : \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow OM = O{F_1}\) (\(MO\) là trung tuyến của tam giác vuông \(M{F_1}{F_2}\))

\( \Rightarrow {c^2} = OF_1^2 = O{M^2} = \dfrac{9}{5} + \dfrac{{16}}{5} = 5\) và \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 5\).

Thay vào (1) ta được: \(\dfrac{9}{{5\left( {{b^2} + 5} \right)}} + \dfrac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\) \( \Leftrightarrow 9{b^2} + 16\left( {{b^2} + 5} \right) = 5{b^2}({b^2} + 5)\)

\( \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 9{b^2} + 16{b^2} + 80 = 5{b^4} + 25{b^2}\\
\Leftrightarrow 5{b^4} = 80\\
\Leftrightarrow {b^4} = 16\\
\Leftrightarrow {b^2} = 4\\
\Rightarrow {a^2} = {b^2} + 5 = 4 + 5 = 9
\end{array}\)

Vậy phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 3: Phương trình đường elip

>> Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài