Bài 2.9 trang 82 SBT hình học 10


Giải bài 2.9 trang 82 sách bài tập hình học 10. Tính giá trị của biểu thức ...

Đề bài

Biết \(\tan \alpha  = \sqrt 2 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = \dfrac{{3\sin \alpha  - \cos \alpha }}{{\sin \alpha  + \cos \alpha }}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dung công thức \(\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) rút \(\sin \alpha \) theo \(\cos \alpha \) và thay vào biểu thức \(A\) tính giá trị.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\tan \alpha  = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \sqrt 2 \) \( \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt 2 \cos \alpha \)

\( \Rightarrow A = \dfrac{{3\sqrt 2 \cos \alpha  - \cos \alpha }}{{\sqrt 2 \cos \alpha  + \cos \alpha }}\) \( = \dfrac{{\cos \alpha \left( {3\sqrt 2  - 1} \right)}}{{\cos \alpha \left( {\sqrt 2  + 1} \right)}} = \dfrac{{3\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  + 1}}\) \( = \dfrac{{\left( {3\sqrt 2  - 1} \right)\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{6 - 4\sqrt 2  + 1}}{{2 - 1}} = 7 - 4\sqrt 2 \)

Vậy \(A = 7 - 4\sqrt 2 \).

Cách khác:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \\
\Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\\
= \frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{1}{3}
\end{array}\)

Mà \(\tan \alpha  = \sqrt 2  > 0\) nên \(0^0 < \alpha < 90^0\) hay \(\cos\alpha > 0\).

Do đó \(\cos \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

\(\Rightarrow \sin \alpha  = \tan \alpha .\cos \alpha  \)\(= \sqrt 2 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy

\(\begin{array}{l}
A = \frac{{3\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\\
= \frac{{3.\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{3\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}}\\
= 7 - 4\sqrt 2
\end{array}\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài