Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 1: Mặt cầu, khối cầu

Bài 6 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 6 trang 54 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao SH bằng \({a \over 2}.\)

LG a

Chứng minh rằng tồn tại mặt cầu tâm H tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kính R của mặt cầu đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của BC thì \(HI = {a \over 2} = SH.\)

Gọi J là trung điểm của SI thì \(HJ \bot SI,\) mặt khác \(HJ \bot BC\), vậy \(HJ \bot mp(SBC)\) đồng thời \(HJ = {{SI} \over 2} = {1 \over 2}.{a \over 2}\sqrt 2  = {{a\sqrt 2 } \over 4}.\)

Tương tự, ta có khoảng cách từ H tới các mặt bên của hình chóp đã cho cũng bằng \({{a\sqrt 2 } \over 4}.\)

Như vậy, mặt cầu tiếp xúc với các mặt bên của hình chóp S.ABCD.

LG b

Gọi (P) là mặt phẳng song song với mp(ABCD) và cách mp(ABCD) một khoảng x (0 < x < R). Gọi Std là diện tích thiết diện tạo bởi mp(P) và hình chóp bỏ đi phần nằm trong mặt cầu. Hãy xác định x để \({S_{td}} = \pi {R^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi H1 là giao điểm của (P) và SH thì \(H{H_1} = x,0 < H{H_1} < R\) và thiết diện của hình chóp với (P) là hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.\) Khi ấy

\({{{S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}} \over {{S_{ABCD}}}} = {\left( {{{{a \over 2} - x} \over {{a \over 2}}}} \right)^2} = {{{{\left( {a - 2x} \right)}^2}} \over {{a^2}}}.\)

Từ đó \({S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = {(a - 2x)^2}.\)

Ta có (P) cắt mặt cầu nêu trên theo đường tròn bán kính r được tính bởi \({r^2} = {R^2} - {x^2}\) hay \({r^2} = {{{a^2}} \over 8} - {x^2} = {{{a^2} - 8{x^2}} \over 8},\) từ đó diện tích hình tròn thu được là \({1 \over 8}\pi \left( {{a^2} - 8{x^2}} \right).\)Vậy

\(\eqalign{   {S_{td}} &= {(a - 2x)^2} - {1 \over 8}\pi ({a^2} - 8{x^2}) \cr&= {1 \over 8}\left[ {8{{(a - 2x)}^2} - \pi ({a^2} - 8{x^2})} \right].  \cr  &  \cr} \)

Ta có

\(\eqalign{  & {S_{td}} = \pi {R^2} = {1 \over 8}\pi {a^2} \cr&\Leftrightarrow 8{(a - 2x)^2} - \pi {a^2} + 8\pi {x^2} = \pi {a^2}  \cr  &  \Leftrightarrow 4\left[ {{{(a - 2x)}^2} + \pi {x^2}} \right] = \pi {a^2}  \cr  &  \Leftrightarrow x = {{4a - \pi a} \over {8 + 2\pi }} \cr} \)

(vì \(0 < x < R = {{a\sqrt 2 } \over 4}\)).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store