Bài 14 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao


Đề bài

Cho đường tròn đường kính AB = 2R nằm trong mặt phẳng (P). Gọi O1 là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao cho SO1 vuông góc với (P) và SO= 2R. Tính thể tích của khối cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm S.

Lời giải chi tiết

Gọi \(\Delta \) là trục của đường tròn đã cho thì \(\Delta // S{O_1}\).

Trong \(mp(S{O_1},\Delta ),\) đường trung trực của SA cắt \(\Delta \) tại O2 thì O2 là tâm mặt cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm S, bán kính mặt cầu này bằng \({O_2}A = {O_2}S\).

Xét các tam giác vuông \({O_2}AO\) và \({O_2}{\rm{IS}}\) ( ở đó \({O_2}I// A{O_1})\), ta có

\(\eqalign{  & {O_2}{S^2} = 4{R^2} + {(2R - O{O_2})^2}  \cr  & {O_2}A^2 = {R^2} + OO_2^2. \cr} \)

Từ đó

\(4{R^2} + {(2R - O{O_2})^2} = {R^2} + OO_2^2,\) suy ra \(O{O_2} = {{7R} \over 4}\).

Vậy bán kính mặt cầu là \(\sqrt {{R^2} + {{49} \over {16}}{R^2}}  = {{R\sqrt {65} } \over 4}\)

Và thể tích khối cầu phải tìm là \({{65} \over {48}}\sqrt {65} \pi {R^3}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.