Bài 12 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 12 trang 56 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 nhận IJ là đường vuông góc chung \(\left( {I \in {d_1},J \in {d_2}} \right),{\rm{IJ}} = a\). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm I và vuông góc với d2, đặt \(\alpha \) là góc giữa d1 và (P). Xét một mặt phẳng (Q) song song với (P) cắt d1, d2 lần lượt tại A1, A2. Gọi H1 là hình chiếu của A1 trên (P).

LG1

Chứng minh rằng các điểm I, J, A1, A2, H1 cùng thuộc một mặt cầu. Chỉ rõ tâm của mặt cầu đó và tính diện tích mặt cầu theo a, \(\alpha \) và khoảng cách h giữa hai mặt phẳng (P), (Q)

Lời giải chi tiết:

Vì (P) đi qua \(I\) và \((P) \bot {d_2},{\rm{IJ}} \bot {d_2}\) nên \({\rm{IJ}} \subset (P).\)

Vì H1 là hình chiếu của A1 trên (P) nên \(\widehat {{A_1}I{H_1}} = \alpha \) và \({A_1}{H_1}//{d_2}\). Do mp(Q) song song với mp(P) và (Q) cắt d1, d2 tại A1, A2 nên \({A_1}{A_2}//J{H_1}\).

Suy ra \(J{H_1}{A_1}{A_2}\) là hình chữ nhật.

Mặt khác \(\widehat {JI{A_1}} = {90^0}\) vậy các điểm I, J, A1, A2, H1 cùng thuộc một mặt cầu, tâm mặt cầu là trung điểm O của JA1, bán kính của mặt cầu là \(R = {1 \over 2}J{A_1}.\)

Ta có \(J{A_1}^2 = {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} + IA_1^2 = {a^2} + {{{h^2}} \over {{{\sin }^2}\alpha }}\)

Từ đó \(R = {1 \over {2\sin \alpha }}\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}\alpha  + {h^2}} .\)

Diện tích mặt cầu là \(S = {\pi  \over {{{\sin }^2}\alpha }}({a^2}{\sin ^2}\alpha  + {h^2}).\)

LG 2

Chứng minh rằng khi mp(Q) thay đổi thì tâm mặt cầu nói trên luôn thuộc một đường thẳng cố định và mặt cầu ấy luôn đi qua một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết:

Khi mặt phẳng (Q) thay đổi thì A1 luôn thuộc d1 mà \(\overrightarrow {JO}  = {1 \over 2}\overrightarrow {J{A_1}} ,\) vậy O thuộc đường thẳng d3 đi qua trung điểm K của IJ và d3 song song với d1.

Xét mặt phẳng (R) chứa IJ và vuông góc với dthì (R ) cắt mặt cầu nêu trên theo đường tròn tâm K, mà K là trung điểm của IJ nên IJ là đường kính của đường tròn.

Đường tròn này cố định, từ đó ta có mặt cầu đi qua các điểm I, J, A1, A2, H1 luôn đi qua một đường tròn cố định.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1: Mặt cầu, khối cầu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài