Bài 5 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 5 trang 54 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho tam giác đều ABC cạnh a...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi (P) là mặt phẳng qua cạnh BC và vuông góc với mp(ABC). Gọi (C) là đường tròn đường kính BC trong mp(P) và S là điểm bất kì thuộc (C). Khi S thay đổi trên (C), chứng minh rằng :

LG a

\(S{A^2} + S{B^2} + S{C^2}\) không đổi

Lời giải chi tiết:

Vì \(\widehat {BSC} = \)  \({90^ \circ }\) nên \(S{B^2} + S{C^2} = B{C^2} = {a^2}.\)

Gọi H là trung điểm của BC thì

\(SH = {1 \over 2}BC = {a \over 2}\) và \(AH \bot BC.\)

Mặt khác, \(\left( P \right) \bot mp\left( {ABC} \right)\) và cắt mặt phẳng này theo giao tuyến BC nên \(AH \bot (P).\)

Từ đó \(S{A^2} = S{H^2} + A{H^2} = {{{a^2}} \over 4} + {{3{a^2}} \over 4} = {a^2}.\)

Vậy \(S{A^2} + S{B^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}.\)

LG b

Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là điểm cố định ( nếu S khác B, C).

Lời giải chi tiết:

Vì HB = HC = HS, \(AH \bot mp(SBC)\) nên đường thẳng AH là trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SBC\).

Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC thuộc AH. Mặt khác, ABC là tam giác đều nên tâm mặt cầu đó chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bán kính mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Điều ấy khẳng định rằng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là cố định.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1: Mặt cầu, khối cầu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.