Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 1: Mặt cầu, khối cầu

Bài 4 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 4 trang 54 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho hình lăng trụ đứng có chiều cao h không đổi, ...

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng có chiều cao h không đổi, đáy là tứ diện ABCD, trong đó A, B, C, D thay đổi và \(\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID}  =  - {h^2},\) với I là giao điểm của hai đường chéo. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.

Lời giải chi tiết

Vì \(\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID} \) nên ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn .

Mặt khác, hình lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng nên hình lăng trụ đó có mặt cầu ngoại tiếp.

Kí hiệu O, O’ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD và A’B’C’D’ của hình lăng trụ và gọi J là trung diểm của OO’ thì J là tâm mặt cầu phải tìm và bán kính của  mặt cầu là JA.

Mặt khác \(J{A^2} = J{O^2} + A{O^2} = {{{h^2}} \over 4} + A{O^2}.\)

Từ đó, bán kính mặt cầu đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \({h^2} =  - \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IC}  =  - \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID}  = A{O^2} - I{O^2}.\)

\( \Rightarrow A{O^2} = {h^2} + I{O^2}\)

Từ đó, \(A{O^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi IO nhỏ nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(O \equiv I,\) lúc đó \(A{O^2} = {h^2}\) và giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ bằng \(J{A^2} = {{h\sqrt 5 } \over 2}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store