Bài 10 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 10 trang 55 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho hình chóp S.ABCD...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình chóp S.ABC. Biết rằng có một mặt cầu bán kính r tiếp xúc với các cạnh của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.

LG a

Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.

Lời giải chi tiết:

Vì các cạnh của hình chóp tiếp xúc với mặt cầu nên

SA+BC = SB+AC = SC+AB

Mặt khác , tâm I của mặt cầu thuộc đường cao SH nên dễ thấy  \(\widehat {ISA} = \widehat {ISB} = \widehat {ISC},\) tức là \(\widehat {HSB} = \widehat {HSA} = \widehat {HSC},\) từ đó SA=SB=SC.

Vậy AB = BC = CA, từ đó S.ABC là hình chóp đều.

LG b

Tính đường cao của hình chóp biết rằng \({\rm{IS = r}}\sqrt 3 .\)

Lời giải chi tiết:

Đặt SH = h.

Gọi M là trung điểm của BC thì mp(SAM) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn này tiếp xúc với SA tại A1, đi qua điểm M và cắt AM tại M1, dễ thấy AM= M1H = HM.

Vì \(\Delta S{A_1}I \sim \Delta SHA\) nên \({{{A_1}I} \over {SI}} = {{AH} \over {SA}},\)

Từ đó \({r \over {r\sqrt 3 }} = {{AH} \over {\sqrt {{h^2} + A{H^2}} }}.\)

Từ AH = 2M1H suy ra

\(\eqalign{  & A{H^2} = 4{M_1}{H^2} = 4(IM_1^2 - I{H^2}).  \cr  &  = 4\left[ {{r^2} - {{(h - r\sqrt 3 )}^2}} \right]. \cr} \)

Vậy

\(\eqalign{  & {1 \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt {{r^2} - {{(h - r\sqrt 3 )}^2}} } \over {\sqrt {{h^2} + 4\left[ {{r^2} - {{(h - r\sqrt 3 )}^2}} \right]} }}  \cr  &  \Leftrightarrow 9{h^2} - 16rh\sqrt 3  + 16{r^2} = 0  \cr  &  \Leftrightarrow h = {{4r} \over {\sqrt 3 }}(do\;\,h > {\rm{IS > r)}}{\rm{.}} \cr} \)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1: Mặt cầu, khối cầu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài