Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 1: Mặt cầu, khối cầu

Bài 10 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 10 trang 55 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho hình chóp S.ABCD...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình chóp S.ABC. Biết rằng có một mặt cầu bán kính r tiếp xúc với các cạnh của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.

LG a

Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.

Lời giải chi tiết:

Vì các cạnh của hình chóp tiếp xúc với mặt cầu nên

SA+BC = SB+AC = SC+AB

Mặt khác , tâm I của mặt cầu thuộc đường cao SH nên dễ thấy  \(\widehat {ISA} = \widehat {ISB} = \widehat {ISC},\) tức là \(\widehat {HSB} = \widehat {HSA} = \widehat {HSC},\) từ đó SA=SB=SC.

Vậy AB = BC = CA, từ đó S.ABC là hình chóp đều.

LG b

Tính đường cao của hình chóp biết rằng \({\rm{IS = r}}\sqrt 3 .\)

Lời giải chi tiết:

Đặt SH = h.

Gọi M là trung điểm của BC thì mp(SAM) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn này tiếp xúc với SA tại A1, đi qua điểm M và cắt AM tại M1, dễ thấy AM1 = M1H = HM.

Vì \(\Delta S{A_1}I \sim \Delta SHA\) nên \({{{A_1}I} \over {SI}} = {{AH} \over {SA}},\)

Từ đó \({r \over {r\sqrt 3 }} = {{AH} \over {\sqrt {{h^2} + A{H^2}} }}.\)

Từ AH = 2M1H suy ra

\(\eqalign{  & A{H^2} = 4{M_1}{H^2} = 4(IM_1^2 - I{H^2}).  \cr  &  = 4\left[ {{r^2} - {{(h - r\sqrt 3 )}^2}} \right]. \cr} \)

Vậy

\(\eqalign{  & {1 \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt {{r^2} - {{(h - r\sqrt 3 )}^2}} } \over {\sqrt {{h^2} + 4\left[ {{r^2} - {{(h - r\sqrt 3 )}^2}} \right]} }}  \cr  &  \Leftrightarrow 9{h^2} - 16rh\sqrt 3  + 16{r^2} = 0  \cr  &  \Leftrightarrow h = {{4r} \over {\sqrt 3 }}(do\;\,h > {\rm{IS > r)}}{\rm{.}} \cr} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store