Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 1: Mặt cầu, khối cầu

Bài 2 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 2 trang 54 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) ...

Đề bài

Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) nằm trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q) sao cho OO’ vuông góc với (P). Đặt OO’ = h. Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua hai đường tròn trên, tính diện tích mặt cầu đó.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(R \le R'\). Vì \(OO' \bot (P)\) nên mọi điểm thuộc OO’ cách đều các điểm của đường tròn (O;R), đồng thời cách đều các điểm của đường tròn (O’;R’),

Xét mp(R) qua OO’ và hai mặt phẳng (P), (Q) theo hai giao tuyến OA, O’A', \(A \in (O;R),A' \in (O';R').\)

Trong mp(R) , đường trung trực AA’ cắt OO’ tại J. Khi đó, mặt cầu tâm J, bán kính JA đi qua cả hai đường tròn (O;R) và (O’;R’).

Gọi S là diện tích mặt cầu đó thì

\(S = 4\pi .J{A^2} = 4\pi (O{A^2} + J{O^2}) \)\(= 4\pi ({R^2} + J{O^2}).\)

Kẻ IH song song với \(AO(H \in OO')\)  thì \(OH = {h \over 2}\).

Từ OH+JH=JO, suy ra \({h \over 2} + JH = JO.\)

Kẻ AK song song với OO’(\((K \in O'A')\) thì có \({{HJ} \over {A'K}} = {{IH} \over {AK}},\) từ đó

\(HJ = {{{{R' + R} \over 2}.(R' - R)} \over h} = {{R{'^2} - {R^2}} \over {2h}}.\)

Vậy \(JO = {h \over 2} + {{R{'^2} - {R^2}} \over {2h}} = {{{h^2} + R{'^2} - {R^2}} \over {2h}}\) và diện tích mặt cầu phải tìm là

\(\eqalign{  & S = 4\pi \left[ {{R^2} + {{{{\left( {{h^2} + R{'^2} - {R^2}} \right)}^2}} \over {4{h^2}}}} \right]  \cr  &  = \pi .{{4{R^2}{h^2} + ({h^2} + R{'^2} - {R^2})^2} \over {{h^2}}}. \cr} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store