Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 1: Mặt cầu, khối cầu

Bài 16 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 16 trang 56 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Trong số các hình chóp tam giác đều nội ...

Đề bài

Trong số các hình chóp tam giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước, hãy xác định hình chóp có thể tích lớn nhất. Mở rộng bài toán cho hình chóp n- giác đều.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

Dễ thấy \(R = {{S{A^2}} \over {2SH}}\), từ đó nếu kí hiệu cạnh đáy và chiều cao của hình chóp lần lượt là a và h thì

\(\eqalign{  & R = {{{a^2} + 3{h^2}} \over {6h}}\;\;\;\;\;\;\;(1)  \cr  & {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.h\;\;\;(2) \cr} \)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\eqalign{  {V_{S.ABC}} &= {{\sqrt 3 } \over {12}}h\left( {6Rh - 3{h^2}} \right)  \cr  &  = {{\sqrt 3 } \over {12}}h.3h\left( {2R - h} \right)  \cr  &  = {{\sqrt 3 } \over 4}h.h\left( {2R - h} \right). \cr} \)

Mặt khác h < 2R nên \({V_{S.ABC}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(h.h.(2R-h)\) lớn nhất.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(h = {{4R} \over 3}\). Khi đó

\({a^2} = 3h(2R - h) = 4R(2R - {{4R} \over 3}) = {{8{R^2}} \over 3},\) tức là \(a = {{2R\sqrt 6 } \over 3}.\)

Dễ thấy trong trường hợp này, SABC là tứ diện đều có cạnh bằng \({{2R\sqrt 6 } \over 3}.\)

\( \bullet \) Mở rộng bài toán cho hình chóp n- giác đều cạnh a.

Ta cũng có \(R = {{S{A^2}} \over {2SH}}\), trong đó SA là một cạnh bên và SH là đường cao của hình chóp, từ đó \(R = {{{a^2} + 4{h^2}{{\sin }^2}{\pi  \over n}} \over {8h{{\sin }^2}{\pi  \over n}}},\) suy ra \({a^2} = 4h(2R - h){\sin ^2}{\pi  \over n}\)

Gọi S là diện tích đáy của hình chóp n-giác đều cạnh a thì \(S = {{n{a^2}} \over 4}\cot {\pi  \over n}.\)

Khi ấy, thể tích V của khối chóp bằng

\(\eqalign{   V &= {{n{a^2}} \over {12}}\cot {\pi  \over n}.h  \cr  &  = {n \over {12}}\cot {\pi  \over n}.h.4hsi{n^2}{\pi  \over n}.(2R - h)  \cr  &  = {n \over 3}\cot {\pi  \over n}si{n^2}{\pi  \over n}.h.h(2R - h)  \cr  &  = {n \over 6}\cot {\pi  \over n}si{n^2}{\pi  \over n}.h.h(4R - 2h). \cr} \)

Vậy V  lớn nhất khi và chỉ khi \(h = {{4R} \over 3}\) và từ đó

\({a^2} = {\sin ^2}{\pi  \over n}.{{16R} \over 3}(2R - {{4R} \over 3}) = {\sin ^2}{\pi  \over n}.{{32{R^2}} \over 9},\)

Tức là \(a = {{4R\sqrt 2 } \over 3}.\sin {\pi  \over n}.\)

Như thế, trong số các hình chóp n-giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước thì hình chóp n-giác đều có chiều cao \(h = {{4R} \over 3}\) và cạnh đáy \(a = {{4R\sqrt 2 } \over 3}\sin {\pi  \over n}\) có thể tích lớn nhất.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua