Bài 1 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 1 trang 54 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho tứ diện ABCD, biết AB=BC=AC=BD=a, AD=b, ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tứ diện ABCD, biết AB=BC=AC=BD=a, AD=b, hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau.

LG a

Chứng minh rằng tam giác ACD vuông.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm của CD, do BC = BD = a nên \(BI \bot CD.\)

Mặt khác \(mp\left( {BCD} \right) \bot mp\left( {ACD} \right)\) nên \(BI \bot mp(ACD).\)

Xét các tam giác vuông AIB và DIB có cạnh góc vuông BI chung, BA = BD, từ đó AI = ID.

Vậy ACD là tam giác vuông tại A.

LG b

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

Từ chứng minh trên, ta thấy tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thuộc BI, do đó, bán kính mặt cầu phải tìm chính là bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Dễ thấy CB2=BI.BB’=2R.BI, tức là \(R = {{{a^2}} \over {2BI}}.\)

Mặt khác

\(\eqalign{  & B{I^2} = B{C^2} - {{C{D^2}} \over 4} = {a^2} - {{{a^2} + {b^2}} \over 4} = {{3{a^2} - {b^2}} \over 4}  \cr  &  \Rightarrow BI = {1 \over 2}\sqrt {3{a^2} - {b^2}} ,0 < b < a\sqrt 3 . \cr} \)

Như vậy \(R = {{{a^2}} \over {\sqrt {3{a^2} - {b^2}} }}\)

Do đó diện tích mặt cầu phải tìm bằng \({{4\pi {a^4}} \over {3{a^2} - {b^2}}}\) với \(0 < b < a\sqrt 3 \).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1: Mặt cầu, khối cầu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài