Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài 1: Hàm số lượng giác

Bài 1.13 trang 14 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 1.13 trang 14 sách bài tập đại số và giải tích 11. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số...

Đề bài

Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y = {\cos ^6}x + {\sin ^6}x\) tương ứng là

A. \(\dfrac{1}{4}\) và \(1\)                     B. \(\dfrac{3}{5}\) và \(\dfrac{3}{4}\)  

C. \(\dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)                D. \(\dfrac{2}{3}\) và \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)  

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi \({\cos ^6}x + {\sin ^6}x\) về dạng biểu thức chỉ chứa \(\sin f(x)\) hoặc \(\cos f(x)\).

Ta có \(\left| {\sin f(x)} \right| \le 1\) và \(\left| {\cos f(x)} \right| \le 1\) từ đó suy ra được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết

\({\cos ^6}x + {\sin ^6}x=\)

\(({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)({\cos ^4}x - {\cos ^2}x{\sin ^2}x + {\sin ^4}x)\)

\(={({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)^2} - 3{\cos ^2}x{\sin ^2}x\)

\(= 1 - 3{(\dfrac{{\sin 2x}}{2})^2} = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\)

\(\begin{array}{l}
= 1 - \dfrac{3}{4}\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right)\\
= 1 - \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x
\end{array}\)

\(= \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x\)

Mà \(0 \le {\cos ^2}2x \le 1 \)

\(\Rightarrow 0 \le \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \le \dfrac{3}{4}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \le 1\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{4} \le y \le 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y\) là \(\dfrac{1}{4}\) đạt được khi \(\cos 2x = 0\),

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y\) là \(1\) đạt được khi \(\cos 2x = 1\).

Đáp án A.

Cách trắc nghiệm:

Khi x = 0 thì y = 1 lớn hơn 3/4, lớn hơn √2/2 và lớn hơn √3/2, nên ba phương án B, C, D bị loại.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store