Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài 1: Hàm số lượng giác

Bài 1.13 trang 14 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 1.13 trang 14 sách bài tập đại số và giải tích 11. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số...

Đề bài

Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y = {\cos ^6}x + {\sin ^6}x\) tương ứng là

A. \(\dfrac{1}{4}\) và \(1\)                     B. \(\dfrac{3}{5}\) và \(\dfrac{3}{4}\)  

C. \(\dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)                D. \(\dfrac{2}{3}\) và \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)  

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi \({\cos ^6}x + {\sin ^6}x\) về dạng biểu thức chỉ chứa \(\sin f(x)\) hoặc \(\cos f(x)\).

Ta có \(\left| {\sin f(x)} \right| \le 1\) và \(\left| {\cos f(x)} \right| \le 1\) từ đó suy ra được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết

\({\cos ^6}x + {\sin ^6}x=\)

\(({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)({\cos ^4}x - {\cos ^2}x{\sin ^2}x + {\sin ^4}x)\)

\(={({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)^2} - 3{\cos ^2}x{\sin ^2}x\)

\(= 1 - 3{(\dfrac{{\sin 2x}}{2})^2} = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\)

\(\begin{array}{l}
= 1 - \dfrac{3}{4}\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right)\\
= 1 - \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x
\end{array}\)

\(= \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x\)

Mà \(0 \le {\cos ^2}2x \le 1 \)

\(\Rightarrow 0 \le \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \le \dfrac{3}{4}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \le 1\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{4} \le y \le 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y\) là \(\dfrac{1}{4}\) đạt được khi \(\cos 2x = 0\),

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y\) là \(1\) đạt được khi \(\cos 2x = 1\).

Đáp án A.

Cách trắc nghiệm:

Khi x = 0 thì y = 1 lớn hơn 3/4, lớn hơn √2/2 và lớn hơn √3/2, nên ba phương án B, C, D bị loại.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua